创新命题推陈出新———电场与磁场创新题赏析（二）

■江苏省江阴高级中学 徐汉屏(特级教师)

在2018年各地模拟试题和高考试卷中出现了很多带电粒子在电、磁复合场中运动的创新性题目。这类试题涉及的受力分析更复杂,运动分析更困难,导致很多同学遇到这样的题目就感到胆怯,其实这类试题看似复杂难解,实则完全是有章可循,有法可依的,只要牢固掌握基础知识,灵活运用基本规律,合理进行综合分析,就能够顺利获得最终结果。

一、带电粒子在电与磁组合场中运动的创新题赏析

创新题1：(2018年高考天津卷)如图1所示,在水平线a b的下方有一匀强电场,电场强度为E,方向竖直向下,在水平线a b的上方存在匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里。磁场中有一内、外半径分别为R、R的半圆环形区域,外圆与水平线a b的交点分别为M、N。一质量为m、电荷量为q的带负电粒子在电场中P点由静止释放,由M点进入磁场,从N点射出。不计粒子重力。

图1

(1)求粒子从P点到M点所用的时间t。

(2)若粒子从与P点在同一水平线上的Q点水平射出,同样能由M点进入磁场,从N点射出。粒子在从M点到N点的过程中,始终在环形区域中运动,且所用的时间最少,求粒子在Q点时速度v0的大小。

解析：(1)粒子从P点到M点在静电力作用下做匀加速直线运动。设粒子在磁场中运动的速度大小为v,所受洛伦兹力提供向心力,则,解得设粒子在电场中运动所受静电力为F,则F=q E。设粒子在电场中运动的加速度为a,根据牛顿第二定律得F=m a,解得a=粒子在电场中做初速度为零的匀加速直线运动,则v=a t,解得

图2

(2)粒子进入匀强磁场后做匀速圆周运动,其周期与速度、半径无关,运动时间只由粒子所通过的圆弧所对的圆心角的大小决定,因此当粒子的运动轨迹与内圆相切时,所用的时间最短。如图2所示,设粒子在磁场中的运动轨迹半径为r',由粒子从Q点射出后在电场中做类平抛运动,在电场方向上的分运动和从P点释放后的运动情况相同,所以粒子进入磁场时沿竖直方向的分速度同样为v,在垂直于电场方向上的分速度始终等于v0,则,解得

图3

(2)若离子源产生的是带电荷量为q、质量为m1和m2的同位素离子(m1＞m2),它们分别到达照相底片上的P1、P2位置(图中未画出),求P1、P2两点间的距离Δx。

(3)若(2)中两同位素离子同时进入加速电场,求它们到达照相底片上的时间差Δt。(磁场边界与靠近磁场边界的极板间的距离忽略不计)

(2)设离子m1,离子m2在磁场中的运动半径分别是r1和r2,则所以照相底片上P1、P2两点间的距离

(3)离子m1在电场中加速有在磁场中偏转有离子m2在电场中加速有在磁场中偏转有所以两离子到达照相底片上的时间差Δt=(t1+t1')-(t2+t2')=

小结：创新题1与上述常规题均涉及电、磁复合场中的一种类型——电、磁组合场,所谓电、磁组合场是指电场和磁场分布在不同空间,两种场组合在一起。创新题1是在上述常规题的基础上,由粒子在电场中的加速并垂直穿越电场与磁场的分界面,继而讨论粒子在电场中的偏转并斜向穿越电场与磁场的分界面,提高了考查的难度和广度。

图4

现学现练：(2018年高考全国Ⅰ卷)如图4所示,在y＞0的区域存在方向沿y轴负方向的匀强电场,场强大小为E；在y＜0的区域存在方向垂直于x O y平面向外的匀强磁场。一个氕核11H和一个氘核21H先后从y轴上y=h点以相同的动能射出,速度方向沿x轴正方向。已知11H进入磁场时,速度方向与x轴正方向间的夹角为60°,并从坐标原点O处第一次射出磁场。11H的质量为m,电荷量为q,不计重力。求：

(2)磁场的磁感应强度大小。

思路点拨：本题同样涉及带电粒子斜向穿越电场和磁场的分界面,涉及带电粒子在电、磁组合场中不同形式的偏转。

二、带电粒子在电与磁叠加场中运动的创新题赏析

创新题2：如图6甲所示,在x O y平面的第Ⅰ象限内有沿x轴正方向的匀强电场E1,第Ⅱ、Ⅲ象限内同时存在竖直向上的匀强电场E2和垂直于纸面的匀强磁场B,已知E2=2.5N/C,磁场B随时间t周期性变化的规律如图6乙所示,B0=0.5T,取垂直于纸面向外为磁场正方向。一个质量m=5×10-5k g、电荷量q=2×10-4C的带正电液滴从P点(0.6m,0.8m)以某一初速度沿x轴负方向入射,恰好以沿y轴负方向的速度v经过原点O后进入x≤0的区域,t=0时刻液滴恰好通过O点,取g=10m/s2。求：

图6

(1)液滴到达O点时的速度大小v和电场强度大小E1。

(2)液滴从P点开始运动到第二次经过x轴经历的时间t。

(3)若从某时刻起磁场突然消失,发现液滴恰好以与y轴正方向成37°角的方向穿过y轴后进入x＞0的区域,试确定液滴穿过y轴时的位置。(sin37°=0.6,cos37°=0.8)

解析：(1)在x＞0的区域内,液滴在竖直方向上做自由落体运动,由y=g t21,v=g t1,解得t1=0.4s,v=4m/s。液滴在水平方向上做匀减速运动,由m a,解得E1=1.875N/C。

图7

(2)液滴进入x＜0的区域后,因为q E2=mg,所以液滴做匀速圆周运动,运动轨迹如图7所示。设液滴做匀速圆周运动的大、小圆半径分别为r1、r2,运动周期分别为T1、T2。由解得r1=2m,r2=1m。又有T1=,解得。液滴从P点开始运动到第二次经过x轴经历的时间

(3)情形一：若磁场消失时,液滴在x轴上方,如图8所示。由几何关系得OM1=根据周期性可知,液滴穿过y轴时的坐标满足解得

图8

情形二：若磁场消失时,液滴在x轴下方,如图9所示。由几何关系得ON1=根据周期性可知,液滴穿过y轴时的坐标满足sin37°),解得

图9

如图10甲所示,两个完全相同的平行板电容器P Q和MN,板间距离为d,极板长度为L,极板厚度不计。将它们置于图示方向足够大的匀强磁场中,磁感应强度为B0,两电容器极板的左端和右端分别对齐,两电容器极板所加电压值相同。一质量为m、电荷量为+q、重力不计的粒子从极板P、Q间的中轴线O1O2左边缘的O1点,以速度v0沿O1O2匀速穿过电容器P Q,经过磁场偏转后沿极板M、N的中轴线O3O4做匀速直线运动,又经过磁场偏转回到O1点,如此循环往复。不计电容器之外的电场对粒子运动的影响。求：

(1)两电容器极板间所加电压的数值U。

(2)Q板和M板间的距离x。

(3)粒子从O1点开始运动到再次回到O1点所用的时间。

(4)若撤去电容器上所加的电压,将原磁场换成按图10乙规律变化的磁场,取垂直于纸面向里为磁场的正方向。粒子仍从O1点沿O1O2在t=0时刻以速度v0进入电容器P Q,在t0时刻恰好从P板右边缘水平射出(t0为未知量),则B1为多少?

图10

提示：(1)由题意知粒子受到的静电力与洛伦兹力平衡,则q E=q v0B0,又有解得U=v0d B0。

小结：创新题2与上述常规题均涉及电、磁复合场中的另一种类型——电、磁叠加场,且磁场做周期性变化。所谓电、磁组合场是指电场和磁场分布在同一空间,两种场叠加在一起。创新题2在电、磁叠加场的右上方又组合了一个匀强电场,带电液滴先经电场偏转后才进入电、磁组合场,另外还需讨论撤去磁场后液滴穿越y轴的多种情况,陡然增加了问题的复杂性。

现学现练：如图11甲所示,竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上的匀强电场(上、下及左侧无边界)。一个质量为m、电荷量为q、可视为质点的带正电小球,以水平初速度v0沿直线P Q向右做直线运动。若小球刚经过D点时(t=0),在电场所在空间叠加如图11乙所示随时间周期性变化、垂直于纸面向里的匀强磁场,使得小球再次通过D点时与直线P Q成60°角。已知D、Q两点间的距离为(+1)L,t0小于小球在磁场中做圆周运动的周期,忽略磁场变化造成的影响,重力加速度为g,求：

图11

(1)电场强度E的大小。

(2)t0与t1的比值。

(3)小球过D点后将做周期性运动,则当小球运动的周期最大时,求出此时的磁感应强度B0的大小及最大周期Tmax。

思路点拨：本题同样涉及带电物体在电、磁叠加场中的运动,磁场也在做周期性变化。

(1)由平衡条件得mg=q E,解得

(2)小球能再次通过D点,其运动轨迹如图12所示,设圆O1的半径为r,则s=v0t1,由几何关系得解得t1=设小球做匀速圆周运动的周期为T,则

图12

(3)当小球运动的周期最大时,其运动轨迹应与竖直面MN相切,小球一个周期的运动轨迹如图13所示,由几何关系得R+解得R=L。由牛顿第二定律得解得小球在一个周期内运动的路程因此

图13