转动切割型感应电动势表达式的推导和应用

■河南省许昌高级中学 李瑞珍

在电磁感应现象中,若磁场不变,导体棒在匀强磁场中绕平行于磁场方向的轴,以角速度ω做匀速圆周运动,则产生的感应电动势的表达式为下面通过对这个表达式的推导,帮助同学们更好地理解这个表达式并在实际解题中灵活应用。

一、转动切割型感应电动势表达式的推导

如图1所示,在磁感应强度为B的匀强磁场中,有一长为L的直导体棒a b,设导体棒绕位于a点的转轴以角速度ω沿顺时针方向匀速转动,转轴与磁场方向平行。求导体棒a、b两端间的电动势。

图1

方法1：运用法拉第电磁感应定律推导。

导体棒a b不闭合,当它在匀强磁场中绕轴匀速转动时,为了运用法拉第电磁感应定律推导产生的感应电动势的大小,需要假想一条导线(图2中虚线a c b)与导体棒a b组成闭合电路。

图2

图3

设导体棒a b在Δt时间内转动到a b'位置,如图3所示,则闭合电路a c b a内的磁通量在Δt时间内的增量等于闭合扇形a b'b a内的磁通量,即闭合电路a c b a在Δt时间内的磁通量的变化量等于导体棒a b在Δt时间内绕位于a点的转轴转动所扫过的面积的磁通量。设导体棒a b在Δt时间内转过Δθ角,则Δθ=ωΔt,扫过的面积为L2Δθ,对应的磁通量的变化量ΔΦ=B L2Δθ,根据法拉第电磁感应定律得导体棒a、b两端间的电动势

方法2：利用导体棒切割磁感线时产生的感应电动势结论E=Blv,结合“平均速度法”推导。

当导体棒a b在匀强磁场中绕一端点匀速转动切割磁感线时,导体棒a b上各点的线速度与半径大小成正比,导体棒的中点位置速度等于导体棒转动的“平均速度”,因此切割速度取,产生的感应电动势

结论：(1)匀强磁场中转动切割型(转轴与磁场方向平行)感应电动势的表达式为在国际单位制中,ω、B、L的单位分别是弧度每秒(r a d/s)、特斯拉(T)、米(m),E的单位是伏特(V)。

(2)转动切割型感应电动势表达式E=和在本质上是统一的。当导体棒做转动切割磁感线运动时,用E=求E比较方便；当穿过电路的磁通量发生变化时,用求E比较方便。

二、转动切割型感应电动势表达式的应用

1.应用转动切割型感应电动势的表达式求解绕轴转动的导体棒部分处于匀强磁场中时产生的感应电动势。

例1如图4所示,圆环形匀强磁场的磁感应强度的大小为B,O点为磁场区域的圆心,磁场区域的内、外半径分别为r1和r2。当导体棒OA绕O点在纸面内以恒定角速度ω沿顺时针方向匀速转动时,导体棒O、A两端间的电动势为( )。

图4

解法1：运用法拉第电磁感应定律求解。

在Δt时间内,导体棒在磁场中扫过的面积Δt,对应的磁通量的变化量ΔΦ=B·ΔS=产生的感应电动势E=

解法2：运用转动切割型感应电动势的结论求解。

导体棒在磁场中的有效切割长度L=r2-r1。导体棒绕O点匀速转动,棒上各点的线速度与半径大小成正比,故导体棒的中点速度等于平均速度,即产生的感应电动势r21)。

答案：A

点评：两种解法在本质上是一样的。解法1的关键是要先假想一个面积,确定磁通量的变化量,再求解电动势；解法2比较简洁,关键是找准有效切割长度和磁场中那部分导体棒的平均速度。

2.应用转动切割型感应电动势的表达式求解曲线型导体棒绕轴匀速转动切割磁感线时产生的感应电动势。

例2如图5所示,把一根细导线弯成直径为d的半圆形A C置在匀强磁场中,磁感应强度大小为B,方向垂直于导线所在平面。当导线绕着A点垂直于磁场沿逆时针方向以角速度ω匀速转动时,导线A、C两端间的电动势为( )。

图5

A.ω B d2B

解析：如图6所示,假设有一直线连接A、C,则A C连线与半圆形A E C构成一个闭合的线圈,在旋转的时候穿过线圈平面内的磁通量不变,感应电动势为0,因此A C连线切割磁感线产生的感应电动势与半圆形A E C切割磁感线产生的感应电动势相同。这样就可以把求半圆形A E C切割磁感线产生的感应电动势转化为求A C连线切割磁感线产生的感应电动势,利用转动切割型感应电动势表达式得

图6

答案：B

点评：本题通过假设一个导体棒,而设置一个虚拟过程,将两个导体的电动势联系起来,从而实现了把一个复杂的物理情景转化为一个简单的物理情景的目的。

3.应用转动切割型感应电动势的表达式求解导体棒以棒上某点为轴匀速转动切割磁感线时产生的感应电动势。

例3如图7所示,虚线两侧的磁感应强度大小均为B,方向相反,将电阻为R的导线弯成顶角为90°,半径为r的两个扇形组成的电路,O为圆心,整个电路可绕O点转动。若电路由图示的位置开始沿顺时针方向以角速度ω转动,则在一个周期内电路消耗的电能是( )。

图7

解析：电路中a d边和b c边分别绕O点沿顺时针方向转动,O点位于导体棒的中点,这样就有四个半径在切割磁感线,每个半径可看成一个电源,电路中有四个电源。从图示位置开始计时,电路转动的一个周期T=根据右手定则可以判断出,在时间内,两个直径导线上产生的两个感应电动势方向相反,电路中没有感应电流产生；在时间内,四个半径导线上产生的感应电动势的方向一致,电路中有感应电流产生,产生的总感应电动势因此在一个周期内电路消耗的电能

答案：C

点评：当导体棒以棒上某点为轴匀速转动切割磁感线时,会同时出现两个感应电动势,这时要用右手定则判断两个感应电动势的方向。若利用这个电源为电路供电,或者判断导体棒两个端点的电势差,则要分析两个电动势是否同向,再求代数和。

1.一直升飞机停在南半球的地磁极上空。该处地磁场的方向竖直向上,磁感应强度为B。直升飞机螺旋桨叶片的长度为l,螺旋桨转动的频率为f,顺着地磁场的方向看螺旋桨,螺旋桨沿顺时针方向转动。螺旋桨叶片的近轴端为a,远轴端为b,如图8所示。如果忽略a到转轴中心线的距离,用E表示每个叶片中的感应电动势,则( )。

图8

A.E=πf l2B,a点电势低于b点电势

B.E=2 πf l2B,a点电势低于b点电势

C.E=πf l2B,a点电势高于b点电势

D.E=2 πf l2B,a点电势高于b点电势

2.如图9所示为儿童玩具发光竹蜻蜓(在飞起时能够发光)的电路简化图,半径为L的金属圆环绕垂直于圆环平面、通过圆心O的金属轴O1O2以角速度ω匀速转动,圆环上接有电阻均为r的三根导电辐条O P、O Q、O R,辐条互成120°角。在圆环内,圆心角为120°的扇形区域内存在垂直于圆环平面向下、磁感应强度为B的匀强磁场,在转轴O1O2与圆环的边缘之间通过电刷M、N与一个L E D灯(可看成二极管,发光时,电阻为r)连接。圆环及其他电阻不计,从图示的辐条O P、O Q位于磁场边界位置开始计时。下列说法中正确的是( )。

图9

A.顺着磁感线方向看,当圆环绕O1O2轴沿顺时针方向旋转时,可以使L E D灯发光

B.在不改变玩具结构的情况下,可以通过增大圆盘转动的角速度来使L E D灯发光时更亮

C.在圆环转过60°的过程中(能使L E D灯发光),通过L E D灯的电流为

参考答案：1.A 2.B D