电子在恒定均匀电磁场中的阻尼运动

周

（北京 100007）

关于晶体的电阻和霍尔效应的严格理论虽然已经很成熟，但是由于严格理论在数学技巧上比较复杂，缺乏一定的物理直观，如何利用一个简单的物理图像给出电阻和霍尔效应的描述是本文的目的所在。本文提出了一种描述带电粒子在导体中运动的非常简单的方法。把磁场中物质的导电行为，模型化为带电粒子在恒定的均匀电场和均匀磁场中的线性阻尼运动，也即物质中载流子的运动受到电场力、洛伦兹力和正比于速度的阻力。模型十分简单的同时又保证了足够的正确性，给出了一种在生活生产中应用广泛的电阻和霍尔效应的快速估算方法。

1 模型的建立

通常电子在导体中的运动，是外加电场、晶格离子所形成的电场共同作用的结果，如果再考虑外加恒定均匀磁场下的霍尔效应，电子还会受到洛伦兹力。导体中存在稳恒电流的情况下，其内部存在着恒定电场，这个电场实际上是外加电动势所提供的，如果考虑均匀无限大导体，该电场在空间上处处均匀。另一方面，晶格的热运动和离散性使晶格形成的电场随时间、空间变化，精确地描述该项电场力很困难。实际上晶格电场的主要贡献在于电子受到该电场力的碰撞和散射作用，从而形成阻力，在最简单的近似中，我们可以将该阻力处理为的形式。因此，在这个最简单的模型中，上述方程足以描述导体中的导电行为。

我们将上述方程写成分量形式，得到：

2 运动方程的求解

这是一个速度大小趋近于零的运动，无论初速度的取值为多少。

3 电阻和霍尔效应

实际上，很多物质的电阻率或多或少会随着磁场发生变化，这个现象实际上可以利用多通道电流的模型给出解释。原子中的电子有着不同的轨道，一些远离原子核的电子可以自由运动，来自不同轨道的自由运动电子可以有着不同的有效质量；同时，不同轨道电子受到晶格的阻碍作用也不相同，这些都会造成阻尼不相同。可以认为，物质中的电子在运动的过程中，互相独立，没有影响。考虑最简单的情形，只有两种电子轨道贡献电流，这就是双通道电流模型。该模型下，，和是两个不同轨道电子对总电流的贡献，的表达式和一致，不过相应的电子数密度和阻尼需要使用相应通道的电子的取值，此时得到，利用矩阵的求逆，我们得到电阻率为：

4 结语

本文使用了一个非常简单的模型给出导体中电阻率和霍尔效应的计算结果，该结果能够很好地解释某些物质的导电性质。本方法可用于估算某些材料的电阻率，设计霍尔器件，制作传感器等，在生产生活中应用广泛。模型可以进一步推广，例如可以考虑在交变电场中电子的运动，此时求解电子的运动方程，可以得到和电场同频率的振动，这个振动所造成的电流就是一个交流电，这可以用来解释物质导电的交流性质。