幂半群上Green关系的若干性质*

潘丽静 余保民

(渭南师范学院数理学院，陕西 渭南 714000)

1 引言与基本概念

半群是由一个非空集合S及定义在S上的一个二元运算组成的代数系统(S,·)，其中要求二元运算满足结合律．半群代数理论在数学内部(组合数学，图论，符号动力学等)和外部(理论计算机科学，信息科学，生物技术等)的共同推动下，经过七十多年的系统研究，已成为一个研究对象和研究方法都具有自身特色的代数学分支，其研究在国际上方兴未艾[1-4]．

设S是一个半群，用P(S)表示S的非空子集全体所成的集合，在P(S)上定义如下的二元运算：

(∀A,B∈P(S))AB={ab∶a∈A,b∈B}．

易证，上面定义的二元运算满足结合律，因此，P(S)关于上面定义的二元运算构成一个半群，称为S的幂半群或整体．关于幂半群及其性质的研究最早始于1967年，由Tamura和Shafer等[5-7]学者提出．随后，很多学者都从不同角度对幂半群进行了研究．最近，赵宪钟教授和甘爱萍等人对几类半群的整体决定性进行了研究，证明了Clifford半群类满足强同构性质，而具有正则整体的半群类、幂等元半群类、以及正规纯正群类等都是整体决定的．

正则半群是半群代数理论的主流研究领域，完全正则半群(也称为群并半群)则是其中最受关注的研究对象之一，Green等价关系是研究半群的结构及其性质的最基本和最重要的工具之一．因此，为了研究一个半群S与其幂半群P(S)之间的关系，有必要讨论半群S及其幂半群P(S)中的Green关系之间的联系．本文的主要目的就是研究对于一个给定的完全正则半群S及S中的元素a，a在S中的L、R、H类与其在P(S)中的等价类之间的关系．我们相信，对这一问题的研究有助于解决完全正则半群的整体决定性问题．

首先回顾Green关系的定义．

定义1[4]设S是一个半群，a,b∈S. 在S上定义如下的Green关系：

(1)aLb⟺存在x,y∈S1，使得xa=b,yb=a；

(2)aRb⟺存在u,v∈S1，使得au=b,bv=a；

(3)aHb⟺aRb且aLb，即存在x,y,u,v∈S1，使得xa=b,yb=a，au=b,bv=a．

命题1[4](1)L是右同余关系；R是左同余关系；

(2)L°R=R°L．

2 幂半群上Green关系的性质

如果在半群S中有aRb，则按照定义1，存在u,v∈S1，使得au=b,bv=a，从而可以在S上定义右平移ρu∶S→S和ρv∶S→S如下：

ρus=su,ρvs=sv(s∈S)．

同样地，若aLb，即存在x,y∈S1，使得xa=b,yb=a，则可以在S上定义左平移λx∶S→S和λv∶S→S如下：

λxs=xs,λys=ys(s∈S)．

延用上面的记号，我们有下面的结果：

引理1[4](1) 右平移ρu|La是La到Lb上的双射；ρv|Lb是Lb到La上的双射，且二者互逆；

(2) 左平移λx|Ra是Ra到Rb上的双射；λy|Rb是Rb到Ra上的双射，且二者互逆．

完全正则半群是一类非常重要的半群类．回顾一下，对半群S，设a∈S，如果存在c∈S使得a=aca，则称a是S中的正则元；如果存在c∈S使得a=aca且c=cac，则称c是a的逆元；如果存在c∈S使得a=aca且ac=ca，则称a是S中的完全正则元；如果S中的每个元素都是完全正则的，则称S是一个完全正则半群．熟知，任一完全正则半群S都是完全单半群Sα的半格Y，其中α∈Y，即S=[Y;Sα]．对A⊆S=[Y;Sα]，引入以下记号

IdA={α∈Y∶A∩Sα≠∅}．

以下，我们把单点集{a}和其所包含的元素a不加以区分．我们分别用LS,RS,HS表示半群S中的GreenL,R,H关系，而用LP(S),RP(S),HP(S)表示幂半群P(S)中的GreenL,R,H关系．对a∈S，我们把a在半群S和幂半群P(S)中的H类分别记作Ha(S)和Ha(P(S))，即

Ha(S)={x∈S∶xHa},
Ha(P(S))={A∈P(S)∶AH{a}}.

类似地可定义La(S)，La(P(S))，Ra(S)和Ra(P(S))等记号．

命题2设S是一个半群，a∈S，A∈P(S)．

(1) 如果aRP(S)A，则A⊂Ra(S)且对任意的b1,b2∈A，b1≠b2，在S中有(b1,b2)∉L；

(2) 如果在P(S)中aLA，则A⊂La(S)且对任意的b1,b2∈A，b1≠b2，在S中有(b1,b2)∉R.

证明假设在P(S)中aRA，即存在X,Y∈P(S)，使得

aX=A,AY=a．

则对任意的b∈A，存在x∈X,y∈Y，使得

ax=b,by=a，

所以在半群S中有aRb，从而有A⊂Ha(S)．

在Y中任意取定y．对任意的b∈A，有aRb，同时由引理1(1)，右平移ρy是Lb到La双射．因此，当b1∈A且b1≠b时，b1∉Lb，也就是说，(b1,b)∉L．

对偶的可证明(2)成立．

命题3对任意的a∈S，都有Ha(S)=Ha(P(S))，即a在S中的H类和{a}在P(S)中的H类相同．

证明设a∈S，b∈Ha(S)，则存在x,y,u,v∈S1，使得

ax=b,by=a,ua=b,vb=a，

从而在P(S)中有

{a}{x}={b},{b}{y}={a},

{u}{a}={b},{v}{b}={a}，

所以b∈Ha(P(S))．因此Ha(S)⊂Ha(P(S))．反之，任取A∈Ha(P(S))，则在P(S)有aRA且aLA．由命题2，A⊂La(S)∩Ra(S)=Ha(S)．同时，由命题2，对任意b1,b2∈A，当b1≠b2时有(b1,b2)∉L且(b1,b2)∉R，所以|A|=1，进而有Ha(S)=Ha(P(S))．

命题4设S=S[Y;Sα;φα,β]是完全正则半群，P(S)是S的幂半群，A,B∈P(S)．如果ARB，ALB，AHB中有一个成立，则IdA=IdB．

证明任给M,N∈S，由文[10]可知，Id(AB)=(IdA)(IdB)．设ARB，则存在X,Y∈P(S)，使得AX=B,BY=A．从而有

(IdA)(IdX)=IdB, (IdB)(IdY)=IdA．

任取α∈IdA，由(IdB)(IdY)=IdA可知，存在β∈IdB，使得α≤β，又由(IdA)(IdX)=IdB可知，存在γ∈IdX，使得β≤γ．因此α≤γ．进一步，有

α=αγ∈(IdA)(IdX)=IdB．

所以IdA⊂IdB．对偶的可证明IdB⊂IdA．因此IdA=IdB．类似的可证明ALB或AHB时，IdA=IdB．