危险品事故背景下城市交通网络级联失效抗毁性研究

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(1.山东科技大学 经济管理学院，山东 青岛 266590；2.山东科技大学 交通学院，山东 青岛 266590；3.山东科技大学 数学与系统科学学院，山东 青岛 266590)

城市交通网络是城市活动的载体，是城市经济运行的重要保障，其承担的运输任务种类繁多。其中也包含危险品运输，而一旦危险品在运输过程中出现事故，造成的影响往往是范围性的，对城市交通网络功能的影响具有破坏性。城市交通网络主要由运输节点和运输路径构成的，各个节点之间存在负载交换，一个节点失效(丧失正常运输功能)可能导致周围节点也失效，通过节点间的耦合关系，失效可能传播至整个网络，造成网络崩溃，这种现象被称为级联失效。为防止网络出现级联失效现象，降低级联失效对网络功能的破坏程度，需要识别网络中关键节点和边，提前做好预防措施，提高网络的抗毁性。

目前在网络失效方面的研究，Dobson等[1]构建了cascade模型来解释级联失效现象；Zhong等[2]考虑3种链路连接方式，建立级联失效模型，通过在自由无标度网络、小世界网络、ER随机网络中进行仿真实验，研究单向链路对复杂网络级联失效鲁棒性的影响；Liu等[3]根据节点的度和介数确定节点负载，建立级联失效模型；Wang等[4]考虑到节点权重异质性，提出一种基于边的级联失效模型，研究了去除最大负载的边的级联动力学模型；Hon等[5]主要研究异质负载在级联失效情况下的分配规则，利用参数θ控制负载的异质程度，研究节点容量系数与失效节点总数的关系；Fu等[6]提出基于耦合网络结构的级联失效修复模型。在交通网络的研究中，Qian等[7]从传统的道路交通网络入手，构建道路交通复杂网络，通过分析和比较，提出了复杂交通网络的时延、恢复性等特征；种鹏云等[8]构建危险品运输关联网络级联失效模型，研究了危险品运输关联网络级联失效机理及耦合特性；何祥等[9]采用“负荷-容量”模型从网络的整体效率、连通程度和路段的拥堵程度等多个角度，研究了网络节点遭受破坏后的级联失效后果；沈犁等[10]在构建多方式、多层次拓扑网络的基础上，对以成都市为例的地铁-公交复合网络在袭击与拥堵下的有效性进行了分析。

目前对复杂网络级联失效的研究主要集中在针对不同现实问题对模型进行改进。在对交通网络抗毁性的研究中，主要考虑单一节点或边失效，未曾考虑范围失效，然而在实际城市交通网络承担了各种运输任务，包括危险品运输，如果危险品在运输过程中出现事故，通常会导致一片区域失效，这种情况对路网的影响与单一节点失效对路网的影响不同。直观上看，一片区域失效要比单一节点失效破坏力强，因此危险品网络级联失效不能使用普通的级联失效模型。基于此，根据城市交通网络的现实情况，分析城市交通网络级联失效机制，建立城市交通网络级联失效模型，构建抗毁性测度指标，辨识网络中的关键节点和边，研究危险品事故背景下城市交通网络抗毁性，为城市交通网络的优化和管理提供理论依据。

1 城市交通网络抗毁性测度

城市交通网络主要由各种运输枢纽及运输线路构成，为方便研究城市交通网络抗毁性，需要去除它们的异质性，将其抽象为网络的点和边，从而将城市交通网络简化为网络模型。设G=(V,E)为城市交通网络拓扑图，其中V={v1,v2,…,vn}为网络节点集合，E={e1,e2,…,em}为网络边集合。为简化问题，特做如下假设：①城市交通网络为无向网络；②仅考虑节点攻击，暂不考虑边攻击；③城市交通网络不具备自我恢复性能。

危险品事故之所以造成城市交通网络的运输节点失效，主要有两个原因：①危险品事故客观上摧毁了运输节点(比如爆炸等)，即节点被动失效；②危险品事故发生后(如有毒气体扩散)，不会摧毁运输节点，但危险品的扩散造成有关当局实施交通管制，从而使一些运输节点不能发挥作用，即主动失效。这两种情况都会造成一片区域内的节点同时失效。如图1所示，危险品事故造成一定区域内节点失效。

因此，城市交通网络中发生危险品事故后，造成一片区域内的节点丧失正常运输功能，导致一些运输任务的运输路径必须做出改变，甚至运输任务被迫中止。因此，危险品事故发生后，城市交通网络的运输能力备受关注。危险品事故对城市交通网络运输能力的影响主要表现在两方面：一方面，受危险品事故影响失效区域内的节点需要将负载疏散给剩余节点，因此可能导致更多节点因负载过大而失效，在这个过程中可能发生多次负载重分配，致使更多节点失效，进而影响网络运输效率；另一方面，失效在网络中传播结束后，网络剩余正常部分的连通情况与网络运输能力密切相关。基于上述分析，采用网络连通率和迭代次数两个指标从级联失效的过程和结果两方面度量城市交通网络的抗毁性。

图1 城市交通网络节点失效示意图Fig.1 Schematic diagram of node failure in urban traffic network

2 城市交通网络级联失效抗毁性模型

2.1 城市交通网络级联失效过程描述

在城市交通网络中，负载分配具有如下特点：网络中某处发生危险品事故，影响到一片区域，导致多个节点同时失效，如图2中A所示；为了安全及完成运输任务，失效节点的负载会疏散到邻居节点，如图2中A→B所示；若邻居节点所承受的负载超过其最大容量，则邻居节点失效，继续将多余负载疏散到其余未失效节点，如图2中B→C所示。

图2 城市交通网络交通负载重新分配示意图Fig.2 Schematic diagram of load redistribution in urban traffic network

根据上述分析，危险品事故发生后影响城市交通网络的过程大致可以分为4个阶段：

1) 网络正常运行，在未受到攻击前，各个节点的负载均未超过最大容量限制，某一时刻，网络某处受到攻击，发生危险品事故，造成一定范围内节点失效。由于不考虑边上的负载，所以此阶段相当于同时攻击了多个节点。

2) 失效范围内的节点将自身负载疏散到邻居节点，此时有两种情况：邻居节点由于负载过大而失效；邻居节点可以承受外来负载，继续正常运行。

3) 阶段2)中的失效节点继续将负载疏散到其邻居节点，若其邻居节点剩余节点容量足够承担外来负载，则不失效；或邻居节点因负载过大而失效。

4) 负载重分配持续进行，失效继续在网络中传播，直到整个网络崩溃或遇到负载承担能力很大的节点使网络重新正常运行，级联失效结束。

2.2 城市交通网络级联失效模型

根据上述分析，建立如下级联失效抗毁机理模型：

2) 某时刻城市交通网络发生危险品事故，产生一片失效区域，该区域内的节点失去运输功能，将自身原有负载分配到未失效邻居节点上。在复杂网络中，有许多负载分配规则，包括均匀分配、随机分配、优化分配和最近邻分配等。根据路网实际负载分配情况，综合考虑节点的剩余负载容量及负载来定义模型负载重新分配比率：

(1)

(2)

3)设集合M是未失效节点的集合，N是为失效节点集合。节点负载更新后，失效判断规则为：

(3)

对集合N中的节点，需再次进行负载重分配，将多余的负载分配到未失效的邻居节点上，分配公式为：

(4)

其中：k表示节点j的一个邻居节点；Γk表示节点k的邻居节点集合。

4) 网络中不属于原集合N的节点，判断其负载是否超过最大容量，若超过，则归属于集合N，且转至第3)步；若未超过，则归属于集合M。

图3 城市交通网络Fig.3 Urban traffic network

5) 当集合M、N不再变动时，级联失效结束；采用网络连通率及迭代次数对网络级联失效抗毁性进行评价。

3 算例及仿真分析

城市交通网络中，一些节点在承担普通运输任务的同时，还承担着危险品运输任务。当某处发生危险品事故时，也许会直接影响到普通运输节点，使得在负载疏散过程中，普通运输节点的负载疏散到未受损的危险品运输节点致使其失效，所以在研究城市交通网络级联失效抗毁性时不能单纯考虑危险品运输节点。根据上述特点，构建了仿真网络，如图3所示。

为方便表述，根据节点度的大小将节点划分为大节点和小节点，节点度较大的节点简称为大节点，节点度较小的节点简称为小节点。

3.1 大-大节点失效对网络抗毁性的影响分析

图4是节点8、12两个大节点同时处在危险品事故造成的失效范围内时，网络连通率以及迭代次数随着节点容量系数变化所呈现的变化规律。从图4可以看出，随着节点容量系数的增长，网络连通率、迭代次数并不呈正比例变化。节点容量系数在区间(1,1.31)内时，网络连通率及迭代次数皆呈上下起伏不稳定变化，节点容量系数在区间(1.31,1.65)时，网络连通率呈现阶梯式稳步增长趋势，迭代次数稳步下降趋势。

以上现象说明，节点容量系数较小时，网络抗毁性较低且呈现不稳定变化，这可能是由于在该区间内，随着节点容量系数的增长，节点最大容量逐渐增大，但仍然无法承受大部分的疏散负载；当节点容量系数达到一定值时，网络抗毁性会陡然增加，这说明，当节点容量系数增大到能够提供给周围邻居节点周转负载所需的节点容量时，两相邻大节点失效后，网络能够较快恢复正常功能。

图4 大-大节点失效对网络抗毁性的影响Fig.4 The effect of big-big node failure on network invulnerability

3.2 大-小节点失效对网络抗毁性的影响分析

图5是两相邻的大小节点同时失效时，网络抗毁性的变化。从图中可以看出，当节点容量系数在(0,1.12)区间变化时，b的网络连通率及迭代次数均在a的上方，说明在此区间内，b的抗毁性高于a。这是因为，在容量系数较小时，大节点的最大容量与初始负载的差值较小，也就是剩余负载容量较小，对疏散来的负载的承担能力较弱，相较于小节点，由于初始负载不高，所以剩余负载容量反而相对较大，对疏散来的负载承担能力较强；节点容量系数在区间(1.12,1.9)变化时，a的网络连通率高于b，而迭代次数小于b，反映出a的网络抗毁性较高。这是因为，当节点容量系数较大时，大节点的最大容量提高，剩余负载容量增加，对负载的承担能力强于小节点。

a—相邻大小节点，有大邻居节点；b—相邻大小节点，无大邻居节点

根据上述分析可以得出，当节点容量系数较小时，失效范围内无较大邻居节点，网络抗毁性较高；当节点容量系数较大时，失效范围有较大邻居节点，网络抗毁性高。

3.3 小节点同时失效对网络抗毁性的影响分析

图6和图7分别是两两相邻和不相邻小节点同时失效时网络抗毁性随节点容量系数的变化。可以看出，当两两相邻小节点同时失效时，网络连通率及迭代次数在节点容量系数达到1.46时就趋于稳定，不再变动，而不相邻的两个小节点在节点容量系数达到1.56时才能达到稳定，说明相邻小节点同时失效，节点容量系数较低时可令网络具有较高抗毁性。这是因为相邻节点失效后，造成网络失效的传播方向一致，而不相邻的节点失效后，可能造成失效在网络中传播的方向不一致，导致更大范围的失效，从而网络抗毁性较低。

另外，图6可以看出，节点容量系数在区间(1,1.07)间变化时，b曲线呈现出不稳定变化，说明相邻小节点同时失效，在节点容量系数较小时网络抗毁性会呈现不稳定变化。当节点容量系数在(1,1.06)间变化时，b曲线的网络连通率及迭代次数都在a曲线的上方，说明此时b的网络抗毁性强于a；节点容量系数在(1.06,1.6)间变化时，a的网络连通率在b的上方，迭代次数在b的下方，此时a的网络抗毁性强于b。这说明无大邻居节点的俩相邻小节点同时失效，当节点容量系数较低时，网络抗毁性较高；当节点容量系数增大到一定值时，有大邻居节点的俩相邻小节点同时失效，网络抗毁性较高。

a—相邻小节点，有大邻居节点；b—相邻小节点，均无大邻居节点

a—不相邻小节点，均有大邻居节点；b—不相邻小节点，均无大邻居节点图7 小节点同时失效对网络抗毁性的影响

由上述分析可以得出，达到相同的网络抗毁性，相比于不相邻小节点失效，相邻小节点失效后所需达到的节点容量系数更低；当节点容量系数较低时，无大邻居节点的两个小节点同时失效网络抗毁性较高；相比于相邻小节点失效，不相邻小节点失效后，网络连通率及迭代次数变化曲线较为规律，无大幅波动。

3.4 失效节点的邻居节点度对网络抗毁性的影响分析

图8是失效范围内的节点有较大邻居节点时，网络连通率以及迭代次数随着节点容量系数变化所呈现的变化规律，图9是没有较大邻居节点时的变化规律。可以看出，相较于两个大节点同时失效，其他连接情况的节点在总体走势上随着节点容量系数规律变化，网络连通率呈阶梯式上升，迭代次数呈阶梯式下降。说明除了大节点同时失效，其他连接方式的网络抗毁性随节点容量系数的增大而增大。

在图8中，当容量系数达到1.62时，网络连通率及迭代次数达到稳定，不再变化；但在图9中，节点容量系数为1.93时网络连通率及迭代次数才稳定，说明失效范围内的节点有较大邻居节点时，节点容量系数取较低值就令网络具有较高抗毁性。

图8～9中皆可看出，城市交通网络的网络连通率及迭代次数随着节点容量系数的增大呈现阶梯状增长趋势，这种跃变特性说明，并不是节点容量系数越大，网络抗毁性就越高，节点容量系数达到最佳值后，继续增大，网络抗毁性不会提高。为了使管理资源得到充分利用，应使节点容量系数略微超过最佳值。

a—攻击大-大节点；b—攻击大-小节点，其中大节点具有大邻居节点；c—攻击小-小节点，其中一个小节点有大邻居节点；d—攻击不相邻小节点，都有大邻居节点

a—攻击大-大节点；b—攻击大-小节点，均无大邻居节点；c—攻击小-小节点，均无大邻居节点；d—攻击不相邻小节点，均无大邻居节点

4 结论

探讨了危险品事故对城市交通网络抗毁性的影响，通过仿真分析研究了不同节点的连接方式及节点周围情况对城市交通网络级联失效抗毁性的影响。结果表明：①相邻大节点同时失效后，网络要恢复正常功能所需达到的节点容量系数较大，且容量系数不够大时，网络抗毁性很低；②大-小节点失效后，若节点容量系数较小，失效节点无大邻居节点，网络抗毁性较高；反之，当节点容量系数较大时，失效节点有大邻居节点，网络抗毁性高；③小节点同时失效后，若要达到相同的网络抗毁性，相邻小节点失效比不相邻小节点失效所需达到的节点容量系数更低；④除大节点同时失效，其他连接方式的网络抗毁性随节点容量系数的增大而增大；失效范围内的节点有较大邻居节点时，节点容量系数取较低值就可令网络具有较高抗毁性；城市交通网络抗毁性具有与节点容量系数相关的跃变特性。

为提高网络的抗毁性，可采取以下措施：①设计城市交通网络时应尽量避免大节点相邻，若无法避免，则应尽可能提高节点容量系数；②大节点与小节点相连时，当没有大邻居节点时，应使节点容量系数保持较低水平；有大邻居节点时，应提高节点容量系数；③使不相邻的小节点保持较大距离；④在对城市交通网络中的节点进行管理时，为了避免不必要的资源浪费，需预先判断最佳容量系数的大小，使节点容量系数略超过最佳值。