高考数学圆锥曲线压轴题的类型与破解方法

范运灵

圆锥曲线是高考命题的热点，也是难点.纵观近几年的高考试题，对圆锥曲线的定义、几何性质等的考查多以选择填空题的形式出现，而圆锥曲线的标准方程以及圆锥曲线与平面向量、三角形、直线等结合时，多以综合解答题的形式考查，属于中高档题，甚至是压轴题.

考试要求：（1）了解圆锥曲线的实际背景;（2）掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质;（3）了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质;（4）了解抛物线的定义、几何图形、标准方程，知道其简单几何性质;（5）了解圆锥曲线的简单应用;（6）掌握数形结合、等价转化的思想方法.

主要考点有：

（1）知识点有圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质（焦点、离心率、焦点三角形，焦半径等）以及这些知识的综合应用;

（2）以平面向量、三角形、导数为背景的圆锥曲线的方程问题、参数范围问题、最值问题、定值问题等相关的综合问题;

（3）圆锥曲线定义法、待定系数法、相关点法、点差法、设而不求的整体思想以及坐标法和“几何问题代数化”等解析几何的基本方法;

（4）数形结合思想、方程思想、等价转化思想的应用以及逻辑推理能力、运算求解能力等基本数学能力.

点评：

（1）圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，同时又是高考的热点和压轴点之一，主要考查圆锥曲线的定义（如例1）与性质（如例3）、求圆锥曲线方程（如例2）、直线与圆锥曲线的位置关系、以圆锥曲线为载体的探索性问题（如例4）等.

（2）圆锥曲线的定义，揭示了圆锥曲线存在的条件性质、几何特征与焦点、离心率相关的问题，恰当利用圆锥曲线定义和数形结合思想解题，可避免繁琐的推理与运算.

（3）求圆锥曲线的标准方程：①定型——确定是椭圆、抛物线或双曲线;②定位——判断焦点的位置;③定量——建立基本量a、b、c的关系式，并求其值;④定式——据a、b、c的值写出圆锥曲线方程.

（4）圆锥曲线的性质如范围、对称性、顶点、焦点、离心率、焦半径、焦点三角形、通径等都是高考的重点热点.此类问题，它源于课本，又有拓宽引申高于课本，是高考试题的题源之一，应引起重视，注意掌握好这一类问题的求解方法与策略.如对于求离心率的大小或范围问题，只需列出关于基本量a、b、c的一个方程（求大小）或找到关于基本量a、b、c间的不等关系（求范围）即可.

（5）求参数取值范围是圆锥曲线中的一种常见问题，主要有兩种求解方法：一是根据题给条件建立含参数的等式后，再分离参数求其值域;另一是正确列出含参数的不等式，进而求之.其列不等式的思路有：①运用判别式;②点在圆锥曲线内部（一侧）或外部（另一侧）;③利用圆锥曲线的几何意义（如椭圆中-a≤x≤a等）;④根据三角形两边之和大于第三边（注意三点共线的情况）.

（6）解有关圆锥曲线与向量结合的问题时，通性通法是向量坐标化，将几何问题变成纯代数问题.

（7）探索性问题是将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，它要求同学们具有观察分析问题的能力，具有创造性地运用所学知识和方法解决问题的能力以及探索精神.解题思路往往是先假设满足题意，即从承认结论、变结论为条件出发，然后通过归纳，逐步探索待求结论.