裂缝性基岩气藏水力压裂起裂压力与近井形态研究

刘永 刘世铎 林海 万有余 刘欢 任广聪 陈铭

(1. 中国石油青海油田公司钻采工艺研究院， 甘肃 敦煌 736200；2. 中国石油大学(北京)石油工程学院， 北京 102249)

柴达木盆地基岩气藏是目前在我国陆地上发现的地质储量最大的基岩储集层气藏[1]。该气藏的储集层具有低孔低渗、天然裂缝发育等特征，若要实现持续高效的勘探开发，水力压裂是其必不可少的增产手段[2]。通过测井、取芯等技术手段发现，基岩气藏发育大量天然裂缝，而天然裂缝地层的裂缝起裂压力和起裂形态较难判断[3]。建立基岩气藏水力压裂起裂压力和起裂形态的计算方法，对于基岩气藏优化压裂设计、提高增产效果具有重要意义。

国内外学者针对天然裂缝地层的起裂压力和起裂形态展开了大量的实验研究、数值模拟研究和理论模型研究。其中，Werjers[4]、Beugelsdijk[5]、张士诚[6]、王磊等人[7]针对天然裂缝岩心的压裂物理模拟实验研究颇具代表性。

通常，实验研究主要侧重机理分析，难以应用于工程设计分析。数值模拟研究的方法主要包括有限元分析、边界元分析和离散元分析等。Gao等人[8]运用有限元分析方法，研究了水力压裂过程中天然裂缝的应力分布变化，但并未涉及起裂压力与起裂形态。Lecampion等人[9]运用边界元方法，研究了近井发育一条纵向裂缝时的起裂压力。Pater等人[10]运用离散元方法进一步研究了天然裂缝发育地层的起裂形态。尽管数值模拟研究取得了较好的规律性认识，然而此方法计算量较大，不便于一般工程人员应用，不利于施工优化设计。金衍等人[11-12]基于弹性力学方法提出了天然裂缝地层的起裂压力模型，此模型考虑了天然裂缝的张性和剪切破裂类型。赵金洲等人[13]提出了天然裂缝地层水力裂缝张性起裂压力模型。任岚等人[14]进一步研究了考虑射孔井天然裂缝地层的起裂压力模型。

然而，以上研究中的模型均建立在弹性力学的基础上，仅通过井筒周围应力场来判断天然裂缝面位置的张开或剪切，并未考虑天然裂缝的弱面断裂属性。本次研究将基于断裂力学原理，提出与井筒相连的天然裂缝的应力强度因子解析方法，建立裂缝性地层的天然裂缝起裂压力模型，并重点对比横切天然裂缝和纵向天然裂缝的起裂压力，进而评价近井形成横切裂缝与纵向裂缝的条件。

1 数学模型

天然裂缝是固体力学中的弱面，判断弱面的起裂可采用断裂力学方法。断裂力学的原理是，通过计算天然裂缝的应力强度因子，判断其是否发生破裂；若天然裂缝尖端的应力强度因子达到岩石断裂韧性水平，则认为发生了起裂，否则认为未发生起裂。

在此，考虑水平井压裂的情况，应力按照岩石力学来设定，即压应力为正，拉应力为负。地层天然裂缝与水平井筒存在2种典型的位置关系：沿井筒轴向和垂直井筒轴向[15]。沿井筒轴向的天然裂缝为纵向天然裂缝，垂直井筒轴向的天然裂缝为横切天然裂缝(见图1)。

图1 天然裂缝与井筒相对位置示意图

若纵向天然裂缝起裂压力小于横切天然裂缝起裂压力，则近井筒产生纵向裂缝，反之则产生横切裂缝。在此，仅侧重于天然裂缝对破裂压力的影响，忽略缝内摩阻和基质的弹性作用。

1.1 水平井筒附近应力场分布

对于水平井筒沿最小主应力方向，根据平面应变力学模型，可得井筒附近周向应力分布[16]：

(1)

式中：σθ—— 周向应力，MPa；

p—— 井筒内流体压力，MPa；

σH—— 最大水平主应力，MPa；

σv—— 垂向主应力，MPa；

Rw—— 井筒半径，m；

x—— 距离井筒轴线的位置，m。

1.2 纵向天然裂缝起裂压力模型

运用加权函数法[17]，计算与圆孔相连的裂缝尖端应力强度因子。

(2)

式中：K—— 裂缝尖端应力强度因子，MPa·m0.5；

p—— 井筒内流体压力，MPa；

l—— 裂缝长度，m；

当lRw→0，即裂缝长度相对井筒半径趋于零时，裂缝趋近于平面应变解[18]，此时影响函数为

(3)

当lRw→+∞，即井筒半径相对裂缝长度可忽略时，裂缝趋近于断裂力学的圆形裂缝解[19]，此时影响函数为

(4)

影响函数要在以上2种极端情况下收敛到式(3)和式(4)，可同时计算中间值。因此，令

(5)

式(5)在lRw→+∞时收敛到式(4)，本身符合式(3)的形式，满足影响函数的特征。

当裂缝尖端应力强度因子达到岩石断裂韧性(KIC)时，裂缝即发生破裂，纵向天然裂缝破裂压力为F(p)。

=0

(6)

1.3 横切天然裂缝起裂压力模型

对于横切天然裂缝，其远场应力为最小水平主应力。横切天然裂缝的尖端应力强度因子为K。

(7)

当lRw→0，即裂缝长度相对井筒半径趋于零时，裂缝趋近于平面应变解，此时影响函数为

(8)

当lRw→+∞，即井筒半径相对裂缝长度趋于零时，裂缝趋近于断裂力学的圆形裂缝解[20]，此时影响函数为

(9)

影响函数要在这2种情况下收敛到式(8)和式(9)，即可同时计算中间值。此时，横切天然裂缝的影响函数为：

(10)

式(10)在lRw→+∞时收敛到式(9)，在lRw→0时收敛到式(8)，满足影响函数的特征。

当裂缝尖端应力强度因子达到岩石断裂韧性时，裂缝即发生破裂，可通过式(11)计算横切天然裂缝破裂压力。

(11)

2 模型解法与验证

式(6)和式(11)为非线性积分方程，其求解需要运用数值方法。为求解该非线性积分方程，通过高斯数值积分求解积分方程，并运用二分法搜索非线性方程根。程序采用Matlab软件编写，天然裂缝起裂压力计算过程如图2 所示。

为了验证本模型应力强度因子解法的准确性，将本模型计算结果与有限元软件COMSOL计算结果进行对比(见图3)。验证算例的参数有：pf=36 MPa；σv=40 MPa；σH=35 MPa；σh=35 MPa；Rw=0.1 m。通过对比可以看出，本模型计算结果与有限元软件计算结果相吻合，其相对误差仅为1.5%。本模型的优势在于，计算效率高，不需要进行大量的数值计算，便于进行工程设计分析。

图2 天然裂缝起裂压力计算过程

3 影响因素分析

取东坪基岩气藏压裂井典型参数：垂向应力为100.00 MPa；最大水平主应力为80.00 MPa；最小水平主应力为70.00 MPa；井筒半径为0.1 m；天然裂缝长度为0.1～10 m，岩石断裂韧性为0.46～1.93 MPa·m0.5。分别对比天然裂缝长度、断裂韧性、地应力差等因素对天然裂缝发育的基岩破裂压力和裂缝起裂形态的影响。

图3 应力强度因子计算结果对比

3.1 天然裂缝长度的影响

根据天然裂缝长度与破裂压力的计算结果(见图4)，发现横切天然裂缝破裂压力随裂缝长度增加而减小，而纵向天然裂缝的起裂压力随裂缝长度增加而先下降后增大。当裂缝长度小于0.8 m时，纵向天然裂缝的起裂压力低于横切天然裂缝。若近井同时存在这2类天然裂缝，则优先形成纵向裂缝扩展。当裂缝长度大于0.8 m时，横切裂缝的起裂压力低于纵向裂缝，说明在此情况下会优先形成横切裂缝。

图4 不同天然裂缝长度下的起裂压力曲线

井筒周围应力场是决定近井纵向裂缝起裂的关键因素。当裂缝长度相对井筒半径而言较小时，天然裂缝受井筒应力场控制，纵向裂缝受到井筒周围的周向张应力作用，从而发生起裂。当裂缝长度较小时，纵向裂缝呈优先起裂的趋势，而横切天然裂缝的应力强度因子不受井筒周围应力场的控制。根据应力强度因子计算公式可知，裂缝长度越大，所需的起裂压力就越小。

3.2 断裂韧性的影响

根据不同断裂韧性条件下天然裂缝起裂压力曲线(见图5)可知：在不同断裂韧性条件下，横切裂缝的起裂压力均随裂缝长度的增加而减小，纵向裂缝的起裂压力随裂缝长度先减小后增大。对比不同断裂韧性的起裂压力可知，高断裂韧性的天然裂缝起裂压力较大，但其变化趋势与裂缝长度有关。当裂缝长度小于1 m时，断裂韧性对起裂压力影响较为显著；而当裂缝长度大于1 m时，断裂韧性对起裂压力的影响减弱。尤其对于纵向天然裂缝，缝长增加至5 m及以上时，不同断裂韧性的纵向天然裂缝起裂压力趋于一致。

图5 不同断裂韧性下天然裂缝起裂压力曲线

在天然裂缝中，横切裂缝与纵向裂缝或许在一定裂缝长度时的破裂压力相同。为了便于讨论，在此用“等值破裂压力缝长”描述横切裂缝与纵向裂缝相同破裂压力对应的缝长(见图6)。由图6可以看出，断裂韧性越大，等值破裂压力缝长就越大。这表明，断裂韧性越大，纵向裂缝起裂的趋势就越强，而在低断裂韧性情况下主要形成横切裂缝。

3.3 地应力的影响

3.3.1 应力差的影响

应力差主要通过固定最小水平主应力和改变最大水平主应力来实现。根据图7所示不同应力差条件下的天然裂缝起裂压力曲线可知，不同应力差下横切裂缝的起裂压力相同。根据式(7)，横切裂缝受到的外应力仅为最小水平主应力，而不受井筒应力场影响，因此，最大水平主应力与横切裂缝起裂压力无关。图7同时表明，应力差越大(或最大水平主应力越大)，纵向裂缝的起裂压力就越高；且在高应力差条件下，缝长对纵向裂缝起裂压力的影响减小。

图6 不同断裂韧性下的等值破裂压力缝长曲线

图7 不同应力差下的天然裂缝起裂压力曲线

对比不同应力差下天然裂缝的破裂压力可知：

(1) 当应力差小于或等于6.00 MPa时，纵向裂缝的起裂压力低于横切裂缝，近井纵向裂缝优先起裂。

(2) 当应力差为10.00 MPa时，若天然裂缝长度小于0.7 m，纵向裂缝的起裂压力低于横切裂缝，近井容易形成纵向缝；而若裂缝长度大于0.7 m，则横切裂缝的起裂压力低，近井容易发生横切裂缝起裂。

(3) 当应力差大于10.00 MPa时，横切裂缝的起裂压力始终低于纵向裂缝，近井容易形成横切裂缝起裂，纵向裂缝难以起裂。

3.3.2 垂向应力的影响

根据图8所示不同垂向应力下的天然裂缝起裂压力曲线可知，不同垂向应力下横切裂缝的起裂压力相同。此结果与前述应力差的分析结果相同，即横切天然裂缝的起裂不受垂向应力影响。同时可知，高垂向应力地层的纵向天然裂缝起裂压力会减小。高垂向应力会增大井筒周围应力，从而促进纵向天然裂缝起裂。此结果与Lecampion等人[9]的认识一致。

图8 不同垂向应力下的天然裂缝起裂压力曲线

对比不同垂向应力下2种类型的天然裂缝破裂压力可知：

(1) 当垂向应力为95.00 MPa时，横切裂缝的起裂压力低于纵向裂缝，近井横切裂缝优先起裂。

(2) 当垂向应力为100.00 MPa时，若裂缝长度小于0.7 m，则纵向裂缝的起裂压力低于横切裂缝，近井容易形成纵向裂缝；而若裂缝长度大于0.7 m，则横切裂缝的起裂压力低，近井容易发生横切裂缝起裂。

(3) 当垂向应力为105.00 MPa时，若裂缝长度小于6.8 m，则纵向裂缝的起裂压力低于横切裂缝，近井容易形成纵向裂缝；而若裂缝长度大于6.8 m，则横切裂缝的起裂压力低，近井容易发生横切裂缝起裂。

(4) 当垂向应力为110.00 MPa时，横切裂缝的起裂压力始终低于纵向裂缝，近井容易形成横切裂缝。

4 实例研究

以青海油田的基岩气藏坪1-2-9井为例进行分析。测井资料显示，该井参数为：天然裂缝长度为1～10 m；天然裂缝断裂韧性为0.82 MPa·m0.5；垂向应力为88.00 MPa；最大水平主应力为65.00 MPa；最小水平主应力为81.00 MPa；井筒半径为0.12 m。该井压裂施工共分3层进行：第1层施工破裂压力为65.70 MPa；第2层施工破裂压力为64.10 MPa；第3层施工破裂压力为67.00 MPa。

运用模型计算得出(见图9)，该井纵向裂缝的起裂压力为77.50～78.50 MPa，横切裂缝的起裂压力为65.50 ～ 68.10 MPa。横切裂缝的起裂压力低于纵向裂缝，同时横切裂缝的起裂压力与现场实际数据较为接近，表明近井已形成横切裂缝。本模型计算结果与实际压裂监测到的破裂压力数据一致，这进一步验证了模型的合理性。

图9 坪1-2-9井起裂压力计算结果

5 结 论

针对天然裂缝发育地层水力压裂工艺的起裂压力和近井裂缝形态计算问题，提出采用加权函数法计算天然裂缝地层应力强度因子，并建立了横切裂缝和纵向裂缝起裂压力计算模型，进而评价天然裂缝地层的起裂压力和起裂形态。得出以下结论：

(1) 裂缝性地层破裂压力与天然裂缝的形态、长度紧密相关。近井发育较长横切天然裂缝时，容易发生横切裂缝起裂；而近井存在较短纵向天然裂缝时，纵向裂缝会优先起裂，从而在近井形成纵向裂缝。

(2) 断裂韧性较小时，横切天然裂缝更容易起裂；断裂韧性较大时，纵向天然裂缝更容易起裂。

(3) 纵向天然裂缝的起裂压力受最大水平主应力和垂向应力的影响较为显著。在高应力差下纵向裂缝的起裂压力就高，纵向天然裂缝难以起裂，而横切天然裂缝相对容易起裂。高垂向应力有利于纵向裂缝起裂，从而促进纵向裂缝的形成。