以勾股定理为例谈数学基础发展

樊琴 高明

摘 要：通过勾股定理证明方法的研究，与时俱进看待勾股定理的应用，利用勾股定理解决实际问题，达到发展数学基础的目的。

关键词：勾股定理;数学;基础

一、 从“四基四能”到“数学学科核心素养”，以发展眼光看课程目标

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中课程总目标指出：获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验（四基）;体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（四能）。

《2017高中数学课程标准》指出：数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度、价值观的综合体现，是在数学学习和应用过程中逐步形成和发展的，主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

在现代信息技术突飞猛进的时代，过去的双基内容已经不能满足时代需求。由双基发展至四基也是为了培养全面发展的创新性人才。因此，我们也应该以发展的眼光看待数学知识。

二、 从勾股定理的“经典证明”到“高维度拓展”，以数学的思维思考数学知识

（一） 勾股定理的经典证明

从古至今、从西方到東方，人们对于勾股定理的不同证明方法都在进行发现和探索。1940年出版的《毕达哥拉斯命题》关于勾股定理证明的专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种。以下是两种人们较为经典的中国古代证明方法。

1. 赵爽的弦图法

如图1，从图形可以发现四个小直角三角形与小正方形的面积和等于大正方形的面积。因为

2. 刘徽的出入相补原理

如图2所示，刘徽在《九章算术》中明确提出‘出入相补，各从其类，用几何图形经分合移补所拼凑的新图形，其面积或体积不变的关系再次证明直角三角形三边关系。即S正方形BCGF+S正方形CDEA=S正方形ABHK。

早期的证明方法，使用了数形结合的思想方法，这种思想方法被人们运用于实际的数学问题解决中。而这种思想方法又使得解题思路更加直截了当，解题思路上利用正方形与三角形所构成的几何图形，通过旋转、平移、切割、补足等变化依旧保持面积不变的关系，构造相等关系的式子，将面积关系转化为直角三角形三边的关系，将几何问题（图形关系）转化为代数问题（等式）。方法上又有所差异，数学家刘徽提出了出入相补原理，以与“弦图”不同的拼凑法找到了面积相等证明了勾股定理，这种方法也可以看作是已知a2+b2=c2的基础上构造三个正方形，再以图形的割补证明面积相等，从而证明了勾股定理。

（二） 勾股定理的拓展延伸，与时俱进看待勾股定理

在立体图形中广泛使用的两点间的距离公式可以被看作是对二维空间中的勾股定理的两次叠加使用，实现从二维到三维的拓展。我们也可以把空间中的距离计算问题转化为平面中的距离问题，实现从平面再到立体的拓展。

按照这种方式拓展，可以实现勾股定理计算两点间的距离推广至高维空间。数学知识随着时代的不断进步而不断发展和完善，在原有的基础上从多视角，多深度，多高度去认识勾股定理。1981年美国的C.A.Thorntor把二维空间的勾股定理推广至三维空间，1984年扬州师院陈瑞琛老师利用格拉斯曼代数的知识得到了高维空间中的勾股定理，1989年又出现了利用解析几何证明勾股定理，除此以外，证明方法中也有利用相似性、切割定理的。

三、 从勾股定理的“简单应用”到“知识交汇”，用数学的语言表达世界

例1 （2018年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（一））

汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的赵爽弦图（图3），四个全等的直角三角形（朱实），可以围成一个大的正方形，中空的部分为一个小正方形（黄实）。若直角三角形中一条较长的直角边长为8，直角三角形的面积为24，若在上面扔一颗玻璃小球，则小球落在“黄实”区域的概率为（ ）

A. 14

B. 13

C. 125

D. 2573

分析与解答：这是一个概率模型，结合赵爽的弦图法可知“黄实”区域面积S′=（8-6）2=4，而大正方形面积为S2=62+82=100，故事件概率P=S′S=4100=125。

例2 （2016年湖北省孝感市中考数学试题）

我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”（图4），图中的四个直角三角形是全等的，如果大正方形ABCD的面积是小正方形EFGH面积的13倍，那么tan∠ADE的值为 。

勾股定理在时代发展的中得到不断的创新和拓展，将勾股定理及证明看作数学基础并应用于实际，还能与三角函数问题等多个问题相结合。现代科学技术加快了社会的进步，要求数学基础必须与时俱进，跟随时代发展的步伐，满足教育的需求。

参考文献：

[1]邓培民.n维空间中勾股定理的一个证明[J].广西师范大学学报（自然科学版），1989（1）：36-39.

[2]杨永根.从切割线定理证明勾股定理谈起[J].抚州师专学报，1987（1）：53-54.

[3]郝四柱.用面积证明勾股定理的思考[J].数学通报，2012，51（5）：26-28+31.

[4]车勇.勾股定理证明中的反思[J].中学数学，2010（16）：35-37.

[5]吴中武.勾股定理的历史与证明[J].教育教学论坛，2012（32）：106-107.

作者简介：樊琴，高明，四川省南充市，西华师范大学数学与信息学院。