非平稳地震作用下高墩桥梁体间隙需求分析

李兰平 ，卜一之 ，贾宏宇 ,2，张 明 ，李 晰

（1. 西南交通大学土木工程学院，四川 成都 610031；2. 北京工业大学城市与工程安全减灾教育部重点实验室，北京 100124）

历次地震（如2008年汶川地震、2010年Chile地震和2011年Christchurch地震等）灾后调查表明，地震作用下桥梁相邻梁体间的碰撞被认为是引起桥梁上部结构震害最为主要的原因之一[1-3]. 地震作用下相邻梁体间的碰撞会导致梁体局部严重损坏甚至落梁，进而中断交通生命线，影响抗震救灾的顺利进行，对生命财产造成不可估量的损失. 因此，重视碰撞引起的桥梁震害，研究防止碰撞的措施有着极其重要的意义.

地震诱发桥梁相邻结构发生碰撞的原因有多方面. 究其内因而言，相邻结构动力特性差异过大以及相邻梁体间隙宽度过小是最为主要的原因[4]. 其中，因地形等因素的限制，相邻结构动力特性差异过大的现象较为普遍. 因此，防止碰撞最为直接有效的措施是设置合理的梁体间隙宽度. 许多学者对此做了大量的研究，其中，Hao[5]基于随机振动理论，研究了多点激励下桥梁的跨度、场地效应和阻尼比等对两跨简支梁相邻梁体间相对位移的影响，表明相邻结构的基频接近时，地震动空间效应是引起相邻结构相对位移最为主要的因素；Ruangrassamee等[6]等将相邻梁体简化为两单自由度体系，并利用该简化模型研究了碰撞对相邻梁体间最大相对位移的影响，建立了碰撞作用下相对位移反应谱，但忽略了地震动空间变化效应的影响；白凤龙[7]利用简化的单自由度体系，建立了空间变化地震动作用下相邻结构间的相对位移反应谱，该相对位移反应谱可为判断简单桥梁结构梁体防撞间隙宽度设置是否合理提供依据；Chouw等[8-9]考虑碰撞情况下，空间场地效应以及土-结构相互作用效应对传统伸缩缝及模数式伸缩缝宽度设置的影响；李忠献等[10-11]基于随机振动理论，以隔震桥梁为对象，建立了碰撞作用下临界间隙宽度的计算方法，该方法考虑了空间场地变化效应以及土-基础相互作用效应对临界碰撞间隙宽度的影响；Bi等[12]研究了场地效应以及土-结构相互作用共同作用时，对碰撞间隙需求量的影响，结果表明：场地条件对碰撞影响明显，场地条件不可忽略；与硬土场地条件相比，软土场地条件下土-结构相互作用效应对碰撞相对位移影响更为明显；贾宏宇等[13]根据随机振动理论，利用振型叠加法在频域范围内推导了烈度-间隙宽度计算方法，研究了地震作用下桥梁结构在一致场地和非一致场地（实际场地）条件下的碰撞间隙需求量. 综上所述，以上研究均未考虑地震动的非平稳性. 而真实地震动具有明显的强度非平稳性和频率分量非平稳性，忽略地震动的非平稳性会高估桥梁结构的动力响应，在设计地震作用下不能充分发挥桥梁结构的抗震性能[14]. 因此，研究非平稳地震作用下高墩桥梁体间隙宽度需求有着极其重要的意义.

本文基于随机振动理论及虚拟激励法，在线弹性范围内，利用振型叠加法推导了非平稳地震作用下相邻梁体相对位移需求与烈度间的数学关系；建立了通过梁体间最大相对位移确定碰撞间隙宽度需求的计算方法；并以某大跨度连续刚构-连续梁体系为实际工程背景，建立有限元模型，分析对比了非平稳地震作用下桥梁结构在一致场地和非一致场地（实际场地）条件下的碰撞间隙需求量，建立了不同烈度下碰撞间隙需求谱. 本文所述方法可充分发挥桥梁的抗震性能，也可为评估既有桥梁间隙宽度是否满足防碰撞需求提供依据.

1 非平稳地震动空间效应模拟

假设大跨度桥梁结构遭受多点非平稳地震动激励，大跨度桥梁结构m个地面支承点处的加速度功率谱密度函数矩阵可表示为[14]

式中： k =1,2,···,m ； ω 为 频率； G (t) 为均匀调制函数，其表达式见式（3）； Skk(ω) 、 Sll(ω) 为第 k、l地面支承点处自功率谱密度函数，其表达式见式（4）；ρkl(ω)为 第k、l地面支承点间的相干函数， ρkl(ω) =0 完全不相干， ρkl(ω) =1完全相干，0 ＜ ρkl(ω) ＜1部分相干.

式中： t1、 t2、 c 为均匀调制函数形状控制参数，本文中 t1=7．1 s ， t2=19．5 s ， c =0．16 ，地震动持时 t =25 s.

式中： Hfkk(ω) 为 与中心频率 ωf和阻尼比 ξf有关的高通滤波函数； S0(ω) 为Tajimi-Kanai地面加速度功率谱密度函数； ωg和 ξg为Tajimi-Kanai功率谱密度函数的中心频率和阻尼比，二者取值与场地条件有关； Γ 为与地震动强度有关的比例因子； ωf、 ξf、ωg及 ξg取值参见文献[13]，详见表 1； Γ 取值参见文献[13]，详见表2.

表1 3类场地类型参数Tab.1 Type parameters for three sites

表2 地震动强度比例因子Tab.2 Scale factor of ground motion intensity cm2/s

地震记录表明，地面运动最初从静止开始逐渐增强，之后进入相对稳定阶段，最后振幅逐渐衰减至0，呈现明显的非平稳性，如果将非平稳激励按照平稳激励处理，那么结构输出响应相对保守. 因此，考虑地震动的非平稳性是非常必要的. 本文采用均匀调制函数模拟地震动的非平稳性[14].

为了构造式（1）来模拟地震动场，本文采用修正的Clough-Penzien模型[15]模拟自功率谱密度函数skk(ω)构成式（1）中对角线单元. 该模型具有抑制低频地震动分量的作用，不同的模型参数可反应场地特性及地震动强度特性.

由结构动力学原理可知，一致激励与多点激励相比较，一致激励会使结构产生对称振型，多点激励作用下会使结构产生对称振型以及反对称振型. 而考虑完全不相干（ ρkl(iω) = 0）时，更易引发结构对称振型和反对称振型，此时结构的动力响应达到最大. 因此，为了考虑更多振型参与，得到结构的最大动力响应值，便于抗震设计的实际应用，本文考虑各地面支承处完全不相干，即仅考虑场地效应.

将 ρkl(iω) = 0 及式（2）～（4）代入式（1）可得

基于式（7）的矩阵分解，构造任意点k 处地面支承处 虚 拟 加 速 度(ω,t)=G(t)Hfkk(ω). 由ω,t)组成的虚拟加速度矩阵 U˜¨ (ω,t) 直接作为动力振动方程的确定性外荷载，便于在通用有限元中利用瞬态分析模块求解.

2 非平稳相对位移响应求解

2.1 运动方程

对于有m个地面支承，n个节点的离散线性结构，地震多点激励下结构的运动方程为[16]

式中：下标s为非地面支承节点，下标b为地面支承节点；Mss、Css、Kss分别为 n × n 维的非支承节点的质量、阻尼和刚度矩阵；Mbb、Cbb、Kbb分别为 m × m 维的支承节点质量、阻尼和刚度矩阵；Kbs、Ksb分别为支撑节点和非支撑节点的耦合刚度矩阵；Xb、、为m维列向量，代表地面支承节点强迫位移、速度、加速度；Xs、、为 n 维列向量，代表结构非地面支承节点位移、速度、加速度；Pb为地面支承节点受到地面地震力.

式中： Hf=[Hf11(ω)Hf22(ω) ···Hfmm(ω)]T.

将式（8）按第二项展开并将式（9）代入可得

采 用大质 量 法，令 Mbb→ ∞ ， 则 Mbb-1→0 ，式（10）左右两边同时左乘 Mbb-1并整理可得

因 G (t) 是随时间慢变的确定性函数，故对初始静止的结构所对应的虚拟地面位移为[17]

将式（8）按第一项展开并整理可得

假定 Css为比例阻尼矩阵，则式（10）可分解q个相互独立的单自由度方程，即

式中： µj、 µ ˙j、分别为第 j阶模态响应、模态速度、模态加速度； ξj为 第j阶阻尼比； ωj第j阶圆频率； φj为第 j阶振型.

将式（12）代入式（14），求解可得

式 中 ： Ij(ω,t)=0thj(t-τ)G(τ)eiωτdτ ； hj(t-τ) 为 与第j阶振型相应的脉冲响应函数； τ 为积分变量.

因此，非支撑节点处虚拟位移响应为

任意两节点处虚拟相对位移响应为

式中：Xs1、Xs2和 φj1、 φj2分别为任意两位置处的虚拟位移响应和第j阶阵阵型.

任意两节点处相对位移功率谱密度函数为

式中： Iy(ω,t) 为 第y阶杜哈梅尔积分； φy为第y阶阵型； φy1、 φy2分别为任意两位置处的第y阶阵型.

2.2 峰值响应

基于随机振动理论，线性结构体系在平稳地震激励作用下，任意响应的第i阶谱矩为

根据文献[18]，平稳地震激励作用下反应峰值的均值 y 以及均方差 σ 可表示为

式中：q、p为均值、均方差的峰值因子；υy为平均频率；λ0和λ2为平稳响应0阶和2阶谱矩.

在非平稳地震激励下，结构响应的均值和均方值是随时间变化的，为了便于分析对比，对其进行简化，将非平稳相对位移响应进行平稳化处理[19]，即将时变均方差σz(t) 、时变0阶谱矩阵λ0(t) 和时变2阶谱矩阵λ2(t) 在地震动持时上取平均值，得到等效平稳化均方反应σz、等效平稳化0阶谱矩 λ0及2阶谱矩λ2.

将平稳化的σz、λ0和λ2代替σy、λ0和λ2，并利用式（22）可求得非平稳相对位移的峰值反应，进而求得非平稳地震作用下相邻梁体间隙宽度需求量.

3 数值算例

3.1 有限元模型及工况

本文基于文献[13]，研究扩展到了非平稳地震激励下梁体间隙宽度需求分析. 在有限元软件ANSYS中建立全桥有限元数值分析模型，模型详细参数见文献[13]. 采用墩底施加大质量，将加速度转化为确定性外荷载施加到大质量上，以实现非平稳地震动的多点输入，并在通用有限元中利用瞬态分析模块求解. 桥墩编号从左到右依次为 1#、2#、3#、4#、5#，桥梁碰撞点位于梁体-梁体（D2）和梁体-桥台（D1和D3）处，见图1. 本文未考虑桥台处的非平稳地震激励，而重点关注非平稳地震动作用下D2处相对位移响应. 因桥台的碰撞会对梁体有限制作用，则本文的D2是相对保守的，对于工程应用也是偏安全.

图1 铁路桥梁结构示意（单位：m）Fig.1 Schematic view of the railway bridge （unit：m）

为研究非平稳地震动作用下桥梁结构在一致场地和非一致场地（实际场地）条件下的碰撞间隙需求量，本文考虑不同烈度下相同场地条件、相同烈度下不同场地条件，共设置20个工况，工况设置详见表3. 3种场地土类型分别为软土场（S）、中土场（M）和硬土场（F）. 实际场地分布为1#墩底处于中土场（M）、2#墩底处于软土场（S）、3#墩底处于硬土场（F）、4#墩底处于中土场（M）和5#墩底处于软土场（S）. 本文中结构阻尼比均取0.05，有效频率积分区间取ω ∈ [0．1,50．0]，单位rad/s，积分步长取0.1 rad/s.

3.2 计算结果及分析

为研究非平稳地震动对梁体间隙宽度设置的影响，本文分析计算了不同烈度下一致场地和非一致场地（实际场地）条件下非平稳相对位移响应，并对计算结果进行了对比，获得了不同烈度下碰撞间隙需求谱.

基于大质量法并利用式（25）求得了各烈度下非平稳相对位移时变均方差（见图2、3）. 从图2、3可以看出，相对位移均方差具有随时间变化的特征，这特征和分段函数类似，即经历了3个阶段：先上升、后平稳、随后下降，表现出了强非平稳性特征. 因此，考虑地震动的非平稳性对相对位移响应的影响是非常必要的. 另外，将各烈度下不同场地条件的相对位移时变均方差的峰值归一化，实际场地、软土场地、中土场地和硬土场地的峰值比为4.36∶2.47∶1.77∶1.00. 结果表明仅考虑一致场地时，场地越软，相对位移响应越大. 相比于一致场地，实际场地对相对位移响应具有放大作用，其原因在于实际场地为多点激励，更容易激起更多结构的对称振型和反对称振型. 因此，忽略实际场地条件会严重低估梁体间的相对位移响应，分析计算梁体间的相对位移响应时，必须考虑场地土类型的实际分布.

表3 墩底工况分析Tab.3 Analysis of pier bottom condition

将非平稳相对位移响应结果进行平稳化处理，利用式（22）可求得非平稳相对位移的峰值反应，即：各烈度不同场地条件下间隙宽度需求量的均值和均方差（图4和图5）. 据图4、5可知，在实际场地分布条件下（非一致激励），每个烈度下间隙宽度需求峰值的均值和均方差均大于一致场地条件（一致激励）. 非一致场地情况时（实际场地），非平稳间隙宽度需求峰值的均值比软土场地、中土场地和硬土场地分别大36%、69%和73%，均方差分别大45%、74%和78%. 此计算结果表明，实际场地条件对梁体间隙宽度的设置有较大影响，在桥梁抗震分析时考虑非一致激励是必要的，如采用一致激励会导致梁体间隙宽度不够，不能满足地震作用下梁体碰撞间隙需求，从而导致梁体碰撞，进而使得桥梁发生破坏.

为了对比平稳和非平稳地震激励下间隙宽度需求量，本文还计算了烈度为8度时平稳间隙宽度需求量，软土场地、中土场地、硬土场地和实际场地条件下计算结果分别是0.30、0.14、0.12 m和0.49 m.平稳和非平稳间隙宽度需求量的比值分别为1.27、1.26、1.26和1.32. 计算结果表明，平稳地震激励比非平稳地震激励时碰撞间隙需求量大20%～30%.平稳时结果偏于保守，但是不能真实且合理的反应地震设计荷载，更不能充分发挥桥梁结构的抗震性能. 因此，考虑非平稳地震激励能客观反映真实地震动，也更能体现结构本身的动力响应.

4 结 论

本文基于随机振动理论及虚拟激励法，研究了非平稳地震动对梁体碰撞间隙宽度设置的影响. 主要结论如下：

（1） 建立了非平稳地震动作用下烈度-间隙宽度需求间的数学关系，获得了空间场地条件下非平稳碰撞间隙宽度需求谱，可为新建桥梁抗震设计提供参考，也可为评估既有桥梁间隙宽度是否满足防碰撞需求提供依据；

图2 相对位移时变均方差（7～9度）Fig.2 Time-dependent mean square deviation of relative displacement (7-9度)

图3 相对位移时变均方差（10度）Fig.3 Time-dependent mean square deviation of relative displacement (10度)

（2） 非平稳比平稳地震激励使结构响应减小20%～30%，既体现地震动本身特征，又能真实地反映梁体间碰撞间隙需求量；

（3） 非平稳地震激励时，非一致场地（实际场地）条件下梁体间隙宽度需求的均值比软土场地、中土场地和硬土场地分别大36%、69%和73%，均方差分别大45%、74%和78%.

图4 间隙宽度需求量均值Fig.4 Mean of required separation distance

图5 间隙宽度需求均方差Fig.5 Mean square deviation of required separation distance