教研现场无处不在，评价学情反思教学——从一篇七年级学生数学写作说起

☉江苏省苏州工业园区东沙湖学校 刘 燕

我们知道，教学即研究.教学研究的素材来自各种“现场”，教育“现场”无处不在，最重要的“现场”就是我们每天面对的课堂和学生.笔者所在地区一个数学群里经常开展一些基于“现场”的教学研究，本文就记录并整理近期我们在数学群里对一篇学生写作的研讨过程，供分享.

一、从一篇七年级学生数学写作说起

案例：攻克一道最值难题（这是七年级学生L所写的一篇数学反思日记）.

最近，我们学习了不等式，又有一大波坑人的题目向我们奔来，今天，研究一道最值难题.

已知三个非负数a、b、c满足3a＋2b＋c=5，2a＋b-3c=1，m=3a＋b-7c.求m的最大值和最小值.

我的解法与思考如下：

由于未知数较多，所以我把c看作常数，用含c的代数式表示a、b.

我又发现，a、b、c为非负数，那么a≥0，b≥0，c≥0，所以-3+7c≥0,7-11c≥0,解得

解决这题的重点是用含c的代数式表示a、b，再用不等式表示c，代入m，即可求解.

说明：这篇学习写作被一位老师发到群里之后，大家就感觉学生的思路正确，顺利求出答案，值得分享，引发了很多老师的跟进讨论.

二、教师研讨意见摘编

师1：该生巧妙运用消元思想得出一元一次不等式组，再次运用消元思想表示出代数式，结合求出的字母的取值范围得出代数式的取值范围.

师2：这个学生会学习.从“一大波坑人”的题目中发现了多参数问题的解题技巧，“把c看作常数，用含c的代数式表示a、b”，并及时总结了此类问题的解题方法.另外，也看出该生会读题、审题.用含c的代数式表示a、b后，能及时联系题目条件“a、b、c为非负数”，求出c的范围，从而顺利求解.

师3：该生数学思维能力很强，知道消元思想的作用，最重要的是知道为什么要消元，等式和不等式放在一起时，往往等式都是为不等式“服务”的，而不等式（组）只能有一个未知数，这时候就要利用等式来消元，该生成功地消元成只含有字母c的不等式（组），从而求得c的范围.另外本题讨论最值时仍然要对多项式进行消元，这其实是八年级要学习的一次函数的思想方法，该生对函数的知识已经有了初步感知，能力上不比八年级部分学生差，看得出该生对数学有很高的悟性.

师4：消元是贯穿始终的主线，从该生的做法中，选择消去参数c，他说把c看作常数，我认为从提高计算正确率的角度，可以把c干脆移到等号右边，最后求m的最值.当然把两个值代入也行得通，我在评讲时，还是会先引导学生.比如，就这个题目而言，“被减数”减去“减数”，减数不变，被减数越大，结果越大，反之越小.对优秀学生来说，不仅仅是代入端点值的问题.

师5：三个字母变化，无法求最值，借助字母之间的联系（方程）想到消元，所以要解方程组，需要用含c的式子表示a、b，然后消元，代数式的值随着c的变化而变化，那是不是c是全体非负数呢？经过思考，发现不是，还要保证a、b也是非负数，从而得出只含有字母c的不等式（组），问题得到解决.该生思路清晰，条理清楚，数学思维能力强！

师6：纵观该生的思路，可以分为三个部分.（1）消元，两个方程，三个未知数，无法求解，但是可以用含一个字母的式子表示出另外两个量.而且她选择以c为参数，降低了计算量，如果用含a的式子表示b、c，或用含b的式子表示a、c，都比较复杂.（2）求参数的取值范围，直接根据题目中的非负数的条件得出参数的取值范围.（3）用含c的式子表示m，再根据c的取值范围求最值.从她解题的步骤顺序可以看出，该生的思维是很严谨的，读题很细心，题目中的任何一个条件都没有忽略.一般在第一步后我们自然会代入先表示出m，然后求最值时发现不好求，再从题目中发现“非负数”这个条件，从而再求c的范围，这样在以后处理综合题时往往会忽略这个起始的限制条件.

师7：从“坑人”这一词语感受到这名学生第一次可能未完全解决这道题.但从反思小作中发现小作者对此题的解题思路是很清晰的：联立方程消参，通过条件联立得一元一次不等式组，让问题清晰化；最后m与c必须关联，此处该生用了极端值来完成（七年级学生对一次函数的性质有时存在一种感知，很可贵）.给小作者的一句话：我们是否可以通过c的范围去分析m的范围，这样最大与最小是不是更有说服力呢？

师8：本题作为一道多参数题，考查的知识点较多.但学生能准确找出问题的关键，即参数较多时，可以通过消元，减少参数的个数，从而使问题变简单.此时可以关注消元的技巧：消去系数简单的参数.用含b的代数式表示a、c（或用含c的代数式表示a、b）后代入m=3a＋b-7c，这样表示m的代数式就只剩一个参数.这是本题的第一个“坎”.本题的第二个“坎”是需要学生知道“三个非负数”这个隐性条件的使用，只要求出上面这个参数的取值范围就可得出m的取值范围，从而求出m的最大值和最小值，问题得解.当然，小作者如能重点写出如何想出突破这两个“坎”的思路历程，对其他学生的学习会有更大帮助.

三、进一步的思考

1.老师点评对解法的评析精准到位

从上面老师们的研讨意见可看出，大家都确认了本题解法的三个重要步骤.比如，第一步：消元.这个方程组中包含有3个未知数的2个方程，此时发现无法求解出a、b、c的具体值.联想到二元一次方程组是含有2个未知数的2个方程，可以求解出两个未知数的具体值，那么不如减少未知数的个数，将其中一个未知数看作常数.这就将这个含有3个未知数和2个方程的方程组转化成了只有2个未知数、2个方程的二元一次方程组.这种消元和参数思想是非常重要的，使未知（三元）走向已知（二元一次方程组）.第二步：缩小取值范围.虽然用含一个未知数的式子表示了另外两个未知数，但是又因为a、b、c三者是紧密相关的，也就是“牵一发而动全身”，所以需要再次缩小取值范围.第三步：代入分析最值.

2.善于站在七年级学生的角度评析

从上面不少老师的发言看出，一个三元一次方程组，三个限制条件，求两个最值，组合成了一道方程、不等式、函数的综合题，所以七年级学生拿到手觉得“坑人”一点儿不足为奇.但这名学生由前面知识联想到解三元一次方程组的基本思想是消元，联立不等式求字母的取值范围，由一个字母的最值可以求含该字母的代数式的最值，从而使问题迎刃而解.最可喜的是，她不仅解出来了而且有了深刻的反思，对以后解这类题有很大的帮助.

3.“坑人的题目”是数学教育的尴尬

学生开头一段写道“又有一大波坑人的题目向我们奔来”，让我们数学教育人情何以堪，数学的形象在这些优秀学生眼中都是“坑人的题目”，这是数学教育的失败.这也提醒我们数学教学要向学生传递怎样的数学习题观.比如，数学学习离不开解题，但解题是为了巩固所学新的数学概念或数学性质，本末不可倒置.而且好的习题应该有一定的标准，比如，章建跃博士指出的“数学题的质量应该有一些基本指标，例如，在深化理解、建立联系、发展概念、促进思维及建立良好认知结构等方面有较好作用”，进一步，章博士还指出“解题要把握量和质的平衡，当前的问题是量太大而质不高，人为制造、细枝末节、烦琐复杂的题目充斥课堂，学生做了大量题目但对数学到底是研究什么的知之甚少”.在这个意义上来理解上文学生数学写作的另外一个意义，就是我们数学教育人应该认真反思，为什么一个七年级学生在数学学习的历程上，感受不到数学解题的逻辑力量、攻克难题后那种畅快和愉悦，而是感觉到“又有一大波坑人的题目”？我们是不是应该多花些时间在命题研究、习题设计和作业布置上呢？