对一道物理难题的再深究

邓 峰

(北京理工大学附属中学,北京 100089)

笔者最近有幸看到《200道物理学难题》里的第85题．本文在原书答案的基础上,进行深入细致地再探究,有着自己的研究思路和着手点,算是对此问题的补充研究,权当抛砖引玉,跟同仁交流．

题目.两个小孩站在一个开阔、倾斜的山坡上,山坡可以看成一个平坦的斜面．地面上结了足够的冰,只要小孩受到一点点的作用力就会以恒定的速度滑向山下．

图1

如图1所示,一个小孩与另外一个小孩玩,他背靠在一颗大树上以v0=1 m/s的速度水平推了对方一下．后者滑下了山坡,此间其速度的大小和方向均发生了变化．如果忽略空气阻力并假定摩擦力与速度无关,被推的小孩最终的速度为多大?

1 难点分析

有学生审题时对小孩是否受摩擦力产生了疑惑,认为既然是恒定的速度滑下,怎么会有小孩速度的大小和方向均发生了变化呢?本题分两段,前一段给出摩擦力与速度无关的条件,说明摩擦力大小恒定,但方向当然是跟相对运动反向了．学生误以为摩擦力大小,方向都恒定,是受“恒定速度”这句话的干扰,很多学生就是在这陷进了思维怪圈而认为此题出错了．有学生没有认真思考题目的条件,就误以为是类平抛运动,分析此题可以看出下滑运动受到的其实不是恒定不变的合力,所以不可能做类平抛运动．另有一些物理基础好的学生和教师们试图求出小孩下滑任意时刻的速度,试图求出小孩的运动轨迹方程,在求解的时候必然会引入时间t,将位置、速度和受力分别表示成时间的函数．然而在计算时会发现,其实这是一个用初等方法无法求解的曲线运动．

2 巧妙解答过程与点评

图2

如图2,在斜面上建立直角坐标,其中x方向与速度v0同向,垂直于x方向沿倾斜的山坡向下为y方向．其中f1=mgsina为重力沿斜坡向下的分力,f2为小孩所受的摩擦力．由题设匀速运动条件可得到f1和f2必定大小相等,即f1=f2．

因为小孩受到的摩擦力f2虽大小保持恒定,且f2≡f1,但小孩做曲线运动时f2的方向时刻变化,故其所受到的合外力大小和方向必时刻变化,可知小孩所做的运动不是类平抛运动．

设某时刻速度方向和x轴的夹角为θ,根据牛顿第二定律可得

则在速度方向v方向上

(1)

和y方向上

(2)

联立(1)、(2)式可得

即dv+dvy=0,可知

d(v+vy)=0,

这说明v+vy=常数=v0.

由(1)式可以知道:小孩运动合速度v的减小与1-sinθ成正比,在0～90°范围这是一个单调减函数,最终会有sinθ=1,合速度不再变化,而且最终合速度v减小到最小值vmin,此时小孩沿y方向的加速度为0,小孩最终的合速度方向将沿斜面向下,这时便有v=vmin=vymax,所以

这种解法十分巧妙,也很简洁,通过计算速度大小和沿斜面向下的分速度的关系,发现二者之和是个定值,从而很方便地导出了末速度的大小．

3 再度深入探究

下面分步骤对这个模型做深入的探究,并求出小孩下滑的轨迹方程．

(1) 根据牛顿第二定律可得

(3)

其中ρ为曲线轨迹的曲率半径．

(2) 根据数学的曲率半径特点可有

(4)

式中s为轨道弧长.

将(4)式代入(3)式可有

(5)

其中

(6)

将(6)式代入(5)式可有

则

(7)

(3) 对(1)式两边同乘以dθ,可有

(8)

(4) 对(8)式两边积分,并考虑初始条件θ=0时v=v0,可得

解得

(9)

(5) 将(9)式代入(5)式可得

则

(10)

对(10)式两边积分就可以得到下滑小孩运动的轨迹方程s(θ)．

(11)

对(11)式两边积分就可以得到下滑小孩运动的轨迹的参数方程x(θ)．

(7) dy=dssinθ=

(12)

对(12)式两边积分就可以得到下滑小孩运动轨迹的参数方程y(θ)．

(8) 再将(9)式代入(7)式,可有

得

(13)

对(13)式两边积分就可以得到下滑小孩运动的角位移方程θ(t)．

以上分析可以得到下滑小孩的轨迹及其参数方程和角位移方程,研究的比较全面深入,只是积分很有难度,需要计算机软件进行解析解和数值解的分析,因为笔者的计算物理的能力有限,还需有这方面能力的教师协助解决,本人不胜感激．