斜拉桥的稳定性分析

申成博

（陕西 西安 710000）

1 问题背景

斜拉桥又称斜张桥，由索塔、主梁、斜拉索组成，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系。斜拉索的两端分别锚固在主梁和斜塔上，将主梁的恒载和车辆荷载传递至索塔，再通过索塔传至地基。主梁在斜拉索的多点支承下，像多跨弹性支撑的连续梁一样，使弯矩值得以大大地降低，这不但可以使主梁尺寸大大减小，而且由于结构自重显著减轻，既节省了结构材料，又能大幅度地增大桥梁的跨越能力。

斜拉桥在我国大跨径桥梁中广泛流行是因为其桥梁跨度较大，桥梁基础较少、有利于跨越很宽的障碍物，桥梁造型美观等等。但随着桥梁跨径的不断增大，会出现超高塔、超长索、超柔性的加劲梁结构，因此研究桥梁的稳定性便极为重要。为研究影响斜拉桥稳定的因素，故对其模型进行数据分析，并由此得出相关的结论。

2 模型假设

（1）假设斜拉桥的桥面是水平。（2）假设斜拉桥的拉索的最大张角是45°。（3）假设模型中计算的拉索的索塔个数为整数。（4）斜拉索在索塔上的节点都为塔顶位置。（5）假设主跨与次跨的长度相同。（6）假设拉索之间的间距相同。

3 模型建立与问题分析

通过以上的假设，我们可以做出如下斜拉桥的模型。下文通过对模型的分析以及相应数据的分析，结合桥梁稳定性可得出相关结论。

3.1 斜拉桥的受力分析与稳定性分析

桥梁在我们的生活中有着非常重要的作用，而桥梁建设中最重要的就是其中的力学分析过程。一座桥梁要连接两岸，随着时代的发展，桥梁建设的挑战也随之增加，两岸长度的增加，桥梁质量的要求增加，道路宽度以及工程容量的增加。而桥梁建设的稳定性是由力学分析以及数学理论来进行理论支撑的，以下将重点结合斜拉桥模型以及受力原理分析桥梁的受力情况。

3.1.1 斜拉桥的模型分析

根据桥梁学的知识知道，斜拉桥一定是一个对称图形；通过查阅资料可知，斜拉桥的设计一般是等间距设计，而且连接在索塔上的部分比较集中，通过分析以及资料中显示，将拉索与索塔的连接点放在下一个点上，对我们论文的研究不会有太大的影响，因此在保证斜拉桥整体对称的基础上，我们假设斜拉桥所有的拉索均于同一点进行连接。如图1 所示，是简单的斜拉桥模型示意图。当然在实际的生活中，斜拉桥可能存在多个索塔或者其他的一些形式，但为了简单起见，我们对其中的一个索塔进行简单的建模，通过对其进行受力分析并结合相关的数学论文推导得出相关的结论。

图1 斜拉桥模型

经过查阅相关资料了解到，在斜拉桥的建设中，拉索的最大张角不应超过45°。结合图1，我们知道拉索AB、AF 是拉索设计的第一条拉索。通过查阅资料，在构建模型的时候将拉索之间的距离设置为固定值为d，在图1 中A 点的高度设为h，则我们可以通过以下公式来求得拉索与索塔之间的夹角大小：

在上式中，θ 表示索塔与拉索之间的夹角，h 表示索塔的高度，d 表示每根拉索在桥面上的距离，n 表示拉索的标号，按照靠近索塔的顺序为每根拉索进行标记。

假设桥的长度为L，则根据模型的定义可知拉索的个数应该设置为：

在上式中，用桥的总长度减去2 倍索塔的高度，在前文中我们提到了，必须要保证拉索与索塔之间的夹角大于45°，也就是说减去的2 倍索塔高度是我们不建立拉索的桥的部分长度；又由于我们的桥梁建设一定是以索塔为中心的对称图形，因此在这里我们必须以2 倍的长度进行扩展拉索，对于不够的部分要增加一对拉索。因此拉索的根数一定要达到公式（2）中N 的值。

3.1.2 斜拉桥的受力分析

图2 斜拉桥的受力分析图

由图1 中对斜拉桥模型的分析可知，斜拉桥整体模型是对称的，因此我们可以通过分析任意一个拉索的受力得到一对拉索的受力分析结果。如图2 是我们的受力分析图，对于桥梁工程，我们关注的更多的是我们拉索的受力以及索塔的受力情况。由图2 分析可知，我们以A 的受力出发，可以知道拉索对A 点的作用力的方向为由A 指向C，将拉索对点A 施加的力进行受力分析，可得：

上式中，F 表示拉索对索桥施加的力的大小，其方向为由A 点指向C 点，Fx表示的是拉索对索桥施加力的水平分力，Fy表示拉索对索桥施加的方向为竖直向下的力。

结合斜拉桥的受力分析以及图1 中的模型，我们可以知道由于拉索是对称的，因此我们将一对对称的力放在一起进行分析。又由力的合成与分解原理，两个力在水平上的力大小相等，且方向相反；在竖直方向的力大小相等方向相同，因此合力方向与竖直分力方向相同，即为竖直方向。

3.2 斜拉桥参数关系分析

在实际的桥梁建设中，我们的拉索总长度往往也是我们需要考虑的一个重要因素，因此在本节中，我们将结合3.1 节中对桥梁的受力分析以及稳定性分析，对桥梁建设中的一些重要参数进行讨论。

3.2.1 斜拉桥模型下的数据关系分析（拉索）

我们将结合模型分析拉索之间的间距d 与桥梁所需拉索总长度的关系，由模型可知索塔、拉索与我们的桥面可以组成一个直角三角形，由勾股定理我们可以求出所需拉索的长度S：

在上式中，i 表示第几根拉索，a 表示第一根拉索与索塔的水平距离，通过根号求得每一根拉索的长度，由于桥梁是对称的，因此求和之后需要乘以2 倍得到最后所需的拉索总长度。

3.2.2 斜拉桥模型的稳定性分析

通过分析可知，如果通过不断增加一个索塔上的拉索的数量，则拉索对于索塔的压力将会越来越大，而且如果拉索的长度过长，即拉索与索塔之间的夹角过大，则会导致桥梁失重，因此我们还需要考虑到索塔的数量K。以下结合具体数据进行分析，并结合上文受力分析结果，讨论索塔数量、桥梁长度以及索塔高度对稳定性的影响。在下表公式计算时，为方便计算，我们假设每根拉索的受力相同且拉索之间的距离固定为d，在表1计算中设；对于a，我们假设其大小等于3 倍间距d。为表示方便，假设一米长的桥体的重力大小为G，下文中我们分析桥的长度的变化以及索塔个数的变化对相关参数的影响，可由以下公式得到我们所需的参数值的表达式：

表1 变量分析表

分析表1 数据，可得到如下结论。

（1）在其他参数不变时，通过增加索塔的个数能够有效的减短所需的拉索总长度，但在一定程度上由于减少了拉索，拉索所需承担的重力会在一定程度上有所上升。

（2）在其他参数不变时，当桥梁长度增加时，所需拉索的总长度会在一定程度上有所上升，但拉索所需的拉力会略微减小。

（3）通过以上分析可知，为了使桥梁更加稳定，我们可以通过增加索塔的个数来降低拉索的拉力大小，但这会涉及到索塔以及拉索的造价成本上升，因此我们需要在效益最大化的同时确保安全。

4 结语

通过建立简单的数学模型并逐步进行分析，提出的问题基本得到解决，具有一定的实用性。而且通过研究斜拉桥的数学模型不仅可以提高学习数学的趣味性，还能加深对高中数学与物理中有关运动问题的理解。根据论文中的模型以及相关的结论我们可以用于指导相关人员对桥梁的建设。由于本文对模型进行了很多的简化，因此所建立的数学模型在某些方面有一定的缺陷。