定积分在解析变力做功问题的应用研究

（滁州职业技术学院基础部 安徽 滁州 239000）

1.定积分概念的背景和几何意义

高等数学教材中有关定积分的学习主要是借助于求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程等几个典型直观实例的引入探究，为定积分概念的背景构建认知基础，为学生理解定积分概念及几何意义起到了很好地铺垫作用。有很多类似的物理学问题如：变力做功、转动惯量等均可以用一个特定形式的和式极限来求解，也就是定积分的“微元法”，解决这类问题的思想方法概括起来说就是“分割、取近似值、求和、取极限”。

图1

图2

如果f(x)在[a,b]上有正负，则积分值就可把曲线y=f(x)在x轴上方部分和下方部分所有曲边梯形正负面积的代数和求出来。如图3所示，有：。

图3

2.浅析物理学中的定积分解题思路步骤

2.1 定义法

采用定积分的定义法求解几何或物理学中的实际应用问题，其实就是直接求和式的极限[2]。 以求曲边梯形面积为例，可归纳总结为以下5个步骤：

（1）判断所给的函数f(x)在给定的闭区间[a,b]上是否是连续函数。

（2）分割，在区间[a,b]上任取 n 份，分点 a=x0＜x1＜x2＜···＜xn-1＜xn=b，再把[a,b]分成 n 个小区间[xi-1,xi](i=1,2,3,···,n)。 每个小区间的长度可记为△xi=xi-xi-1(i=1,2,3,···,n)；把整体问题化为局部问题，以均匀代替非均匀（或以直代曲）。

（3）取近似值，在分成的每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi，再竖起高线f(ξi)，可得任一小长条面积△Ai的近似值：△Ai≈f(ξi)△xi(i=1,2,3,···,n)。

（4）求和，把n个小长条面积相加在一起，采用求和公式可得出曲边梯形面积A的近似值：

2.2 微元分析法

我们常运用定积分的“微元法”解决几何、物理学上的实际应用问题。一般来说，凡是具有可加性连续分布的非均匀量的求和问题，都可通过此法来解决问题。“微元法”可以说是借助“微元”这一中间变量，再无限累计最后运用定积分求解演变的一个过程[3]。微元法有3个操作步骤：

（1）先建立合适的二维坐标系，选取积分变量x并确定其变化的区间[a,b]，而所求的因变量A必须要与自变量x的变化区间[a,b]有关。

（2）把积分区间[a,b]分割成无数个子区间，可以在其上任取一小区间[x,x+dx]，并在小区间上找出相应的微元量dA，dA=f(x)dx，根据微元具有可加性，再把微元量dA相叠加在一起。

3.定积分的“微元法”在变力做功问题中的应用

3.1 摩擦力做功

【例1】有一物体在水平面上沿OX轴的正方向前进，水平面上各处的摩擦系数不等，因而作用于物体的摩擦力是一变力。已知某段路面摩擦力的大小随坐标x变化的规律是[3]f=1+x(x＞0)，求从x=0到x=4cm过程中，摩擦力所做的功。

解：由题意知：（1）摩擦力f=1+x(x＞0)是一变力，随着x的值变化而变化，我们不能简单地用以前学习的直线运动中做功公式A=Fscosα求解，此做功公式中力F是一恒力，它的大小和方向不变，s是受该恒力作用的质点沿直线运动的位移，α是力F和位移s之间的夹角。（2）摩擦力的大小f=1+x是变力，物体沿OX轴的正方向前进，选其位移元dx＞0，而摩擦力方向与其运动方向相反，为负值。力与位移之间的夹角α=π，cosα=cosπ=-1，我们可以在其运动的正方向上任取一小区间[x,x+dx]，在位移元dx上，力可看作恒力做功。摩擦力所做的元功dA，即dA=fcosαdx=-(1+x)dx。当物体从x=0运动到x=4cm过程中，摩擦力f所做的功为dA=fcosαdx=-(1+x)dx

“－”说明物体所受的摩擦力做的是负功，与其运动的方向相反，而做功的大小为12J。

3.2 弹力做功

【例2】有一弹簧在拉伸过程中，所需要的力与弹簧的伸长量成正比，即F=kx（k是比例系数）[3]。已知当弹簧拉长20cm时，需用力1N，要使弹簧伸长60cm时，求外力所做的功。

图4

解：因为弹簧在伸长的过程中，弹力F随伸长量x不断变化而变化，并与x成正比，代入F(x)=kx,得F(x)=5x。

分析思路：第一步，弹性力F(x)=kx是连续变化的函数，物理学解释是一变力，我们采用定积分的定义法判断在任一微小区间上F可近似看作常量处理。并建立沿弹簧拉伸的方向为x轴的正方向，选取x为积分变量，x∈[0,0.06]，如图（4）所示。

第二步，将[0,0.06]这一区间细分为n个小区间[xi,xi+1],△x=xi+1-xi,i=1,2,···，n;并在每个小区间上任选一点 ξi，就有 F(x)=F(ξi)。

第三步，分析在各个小区间[xi,xi+1]上的移动的力F所做的功可近似看作是恒力在直线段上所做的功，记为F(ξi)△xi，得。

3.3 电场力做功

我们在中学阶段学习的关于电场力做功问题，只是必须满足“在匀强电场中，带电粒子或物体移动时，所产生的恒定电场力对该粒子或物体所做的电功问题”这一条件限制，使用电场力做功公式直接求得。然而，在大学物理学电学学习过程中，经常会遇到很复杂的电场力做功问题，比如，在非匀强电场中，电场对带电粒子移动到无穷远处或移到有限距离所做的电功问题[4]。事实上，我们不能直接用简单的电功公式求解，可以采用定积分的微元法来分析，举例如下：

【例3】有一场源电荷带电量为+q的点电荷放在r轴上坐标原点O处，它产生一个电场，现有一检验电荷电量为+q0在该电场中沿+r轴从r=a点（用ra表示）移到r=b处（用rb表示），求电场力对其所做的功。

解：第一步，在检验电荷+q0从a点移动到b过程中，受到的电场力是一变力，大小是不断变化的，因在r轴上移动，取r为积分变量，将它的变化区间[a,b]再细化分n个小区间，其中令[r,r+dr]为[a,b]上的任意小区间。

第二步，建立合适的坐标系如图（5）所示：

图（5）

第三步，任意一小区间[r,r+dr]上电场力对检验电荷+q0所做的功，可近似看作是恒力在位移元dr上所做的微功dA，则：dA=Fdr=Eqdr=（其中k静电力常数，ε0为真空介电常数，。

第四步，把微功dA叠加在一起，在积分区间[a,b]上运用定积分计算求得：将检验电荷+q0从r=a处移动到r=b处电场力对其所做的功A为：

3.4 气体膨胀或压缩所做的功

若密闭容器中的气体在膨胀或压缩时，由于它的气体压强在不断变化，从而导致作用在活塞上的压力也随之不断变化[5]，为使活塞保持平衡，需要外加一压力来推动活塞对气体做功，但这是变力做功问题，不能直接使用压力做功公式，要根据定积分的“微元法”将这变力做功问题转化为恒力做功问题。可以在选定区间上细分n小区间，求出每个小区间恒力做功再累计叠加，使用定积分求解，举例如下：

【例4】在一圆柱形底面积为S的容器中盛有一定量气体，经过等温膨胀后将容器中一面积为S的活塞从a点推到b点处[6]（如图（6）所示），求该过程中气体压力所做的功。

解：第一步，分析题意知，我们所研究容器中的气体在膨胀过程中，压强是在不断变化的，底面积S是不变量，由压强公式得作用在活塞上的压力F是随压强P变化在不断变化，同样在气体膨胀[a,b]这一区间细化分为n个小区间，并建立沿活塞推动的方向为x轴的正方向，取x为积分变量，选定任一小区间[x,x+dx]上的微元dx，压强可近似看作是恒压强，压力可看作恒压力做功。

第二步，建立如图（6）所示的坐标系，首先设容器中气体的物质的量为N，温度为T，普适气体常量为R。

图6

第三步，求任一小区间[x,x+dx]上对应的微元dx所做微功dA，则：

第四步，活塞自a点处推到b点这一过程中气体压力所做的总功A用定积分求解，将上述做功微元全部累加在一起，即可求出从a点到b点这一过程中气体压力所做的总功A为：

通过几个变力做功事例，我们可以看出关于此类问题的解题方法是与数学“微元积分”的思想相紧密联系的[7]。分析每道题的解题思路时，首先运用数学思想选定好积分变量，找出对应的微元，变力做功问题不能直接应用中学学习的恒力做功公式A=FScosα求解，我们要借助高等数学中学习的定积分“微元法“，把物理学中的变量转化为不变的量，将物体移动的区间分割细化为n个小区间，每一小区间上位移元dS都非常小，可近似看成是一点，其中在位移元dS上力的大小和方向没来及发生变化，F可看作是一恒力，求出在此位移元dS上做的微功，最后把n个微功叠加在一起求和，就是积分即为变力在整个运动过程中所做的总功。利用“定积分微元法”以简化物理抽象的应用问题，更好地突出了数学与物理知识的融合重要性。

4.结论

应用定积分的“微元法”思想，采用“分割、近似、求和、取极限”的几大步骤探讨了物理学变力做功的问题，结合高等数学中微分和定积分的几何意义及公式计算，熟练掌握理解“微元、积分”的思想及应用，用定积分的“微元”知识不仅能解决物理学中变力做功问题，也为物理学科后续部分力学、电磁学等抽象应用问题的计算奠定了基础，后续专业课程的学习也起到了事半功倍的效果[8]。数学与物理学知识的融合，提升了学生应用数学能力解决物理学及其它课程应用问题。