聚焦函数的零点问题

■徐春生

函数的零点是高考命题的热点，考题类型主要以选择题、填空题的形式出现。高考常见的几种命题角度有：（1）求函数的零点;（2）判断函数的零点个数;（3）判断函数零点所在的区间;（4）已知函数有零点求参数的取值范围。

一、求函数的零点

例1已知函数f（x）则函数f（x）的零点是

解：当x≤1时，令2x-1=0，得x=0;当x＞1时，令，得此时不合题意。综上所述，函数f（x）的零点是0。

评析：求函数f（x）的零点时，通常转化为解方程f（x）=0，若方程f（x）=0有实根，则函数f（x）存在零点，该方程的根就是函数f（x）的零点;否则，函数f（x）不存在零点。

二、判断函数的零点个数

例2函数的零点个数为

解：当x≤0时，令x2+2x-3=0，得x=-3或x=1（舍去）;当x＞0时，令-2+lnx=0，得x=e2。

故函数f（x）的零点个数为2。

评析：判断函数的零点个数主要有三种方法：（1）通过解方程求出函数的零点个数;（2）利用函数的图像进行判断;（3）借助函数的单调性进行判断。

三、判断函数零点所在的区间

例3函数的零点所在的大致区间是（ ）。

A.（6，7） B.（7，8）

C.（8，9） D.（9，10）

解：由可得f（9）·f（10）＜0，所以函数f（x）=l gx的零点所在的大致区间是（9，10）。应选D。

评析：判断函数零点所在区间的步骤：（1）将区间端点值代入求出函数值;（2）进行符号判断;（3）若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点。

四、已知函数有零点求参数的取值范围

例4若函数f（x）=4x-2x-a，x∈有零点，则实数a的取值范围是

解：因为函数f（x）=4x-2x-a，x∈

评析：已知函数的零点或方程的根求参数取值范围的常用方法：（1）直接法，即直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数取值范围;（2）分离参数法，即先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决;（3）数形结合法，即先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图像，利用图像求解。