聚焦函数的零点问题

2019-01-11 20:03徐春生
中学生数理化·高一版 2019年10期
关键词:解方程零点评析

■徐春生

函数的零点是高考命题的热点,考题类型主要以选择题、填空题的形式出现。高考常见的几种命题角度有:(1)求函数的零点;(2)判断函数的零点个数;(3)判断函数零点所在的区间;(4)已知函数有零点求参数的取值范围。

一、求函数的零点

例1已知函数f(x)则函数f(x)的零点是

解:当x≤1时,令2x-1=0,得x=0;当x>1时,令,得此时不合题意。综上所述,函数f(x)的零点是0。

评析:求函数f(x)的零点时,通常转化为解方程f(x)=0,若方程f(x)=0有实根,则函数f(x)存在零点,该方程的根就是函数f(x)的零点;否则,函数f(x)不存在零点。

二、判断函数的零点个数

例2函数的零点个数为

解:当x≤0时,令x2+2x-3=0,得x=-3或x=1(舍去);当x>0时,令-2+lnx=0,得x=e2。

故函数f(x)的零点个数为2。

评析:判断函数的零点个数主要有三种方法:(1)通过解方程求出函数的零点个数;(2)利用函数的图像进行判断;(3)借助函数的单调性进行判断。

三、判断函数零点所在的区间

例3函数的零点所在的大致区间是( )。

A.(6,7) B.(7,8)

C.(8,9) D.(9,10)

解:由可得f(9)·f(10)<0,所以函数f(x)=l gx的零点所在的大致区间是(9,10)。应选D。

评析:判断函数零点所在区间的步骤:(1)将区间端点值代入求出函数值;(2)进行符号判断;(3)若符号为正且函数在该区间内是单调函数,则在该区间内无零点,若符号为负且函数连续,则在该区间内至少有一个零点。

四、已知函数有零点求参数的取值范围

例4若函数f(x)=4x-2x-a,x∈有零点,则实数a的取值范围是

解:因为函数f(x)=4x-2x-a,x∈

评析:已知函数的零点或方程的根求参数取值范围的常用方法:(1)直接法,即直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通过解不等式确定参数取值范围;(2)分离参数法,即先将参数分离,转化成求函数的值域问题加以解决;(3)数形结合法,即先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中,画出函数的图像,利用图像求解。

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