移动荷载作用下饱和土地基中的波动特性分析

孙 波

（中铁第四勘察设计院集团有限公司，武汉430063）

1 引 言

饱和多孔介质波动方程［1，2］于20世纪50年代Biot提出以来，得到广大学者的关注和认可，成为饱和地基土动力学研究的基础。Biot理论包含了弹性力学部分和动力学部分。其中，弹性力学部分比均匀各向同性固体多两个弹性参数，这两个参数分别代表流体的弹性与两相介质（弹性介质和流体介质）间的弹性相互作用；动力学部分采用两个相互耦合的矢量方程来描述。Biot根据波动方程预测饱和多孔介质中存在三种体波，即P1波、P2波以及S波。其中P2波在各向同性弹性介质中不存在。该预测在Biot理论提出之初引起了部分学者的怀疑，但是20多年后得到实验室证实［3］。从Biot的开创性工作至今，国内外很多学者从不同角度对该问题做过研究。Ishihara［4］做了简化近似分析，尝试给出饱和土中弹性波速度的实用公式；文献［5，6］试图给出具有更确切含义的参数，以克服Biot理论中参数物理意义不明确的缺陷。

我国东南沿海地区经济发达，基础建设增长很快，但同时广泛分布着饱和地基土，饱和地基土的工程力学特性差，易引发工程事故。特别是近年来，随着高速铁路和地铁的蓬勃发展，饱和土地基在交通荷载作用下引起了越来越多的工程问题，威胁着人民生命财产安全，并带来了巨大的经济损失。所以近年来，饱和地基土在交通荷载作用下的动力响应问题越来越受到关注，许多国内外学者对此进行了理论和试验研究。文献［7，8］最早开始研究多孔弹性介质在移动荷载作用下的动力响应，但只考虑了土骨架，没有考虑孔隙水的作用，不能算做完全意义上的饱和地基。Lu等［9］通过方程转化得到了移动点荷载作用下的响应解析解。胡安峰等［10］通过函数傅里叶变换和傅里叶逆变换得到了下卧基岩饱和半平面在移动荷载作用下的解析解，并利用数值技术分析了波在时间-空间域的特性。孙宏磊等［11］在其他条件类似的情况下，更近一步研究了横观各向同性饱和土体的弹性波。金波等［12，13］研究了饱和半空间波的传播问题，给出了位移、应力以及孔隙水压力的解析解。Cai等［14］研究了移动矩形荷载作用下饱和土体的动力响应问题。综上所述，目前饱和多孔介质在移动荷载作用下的动力响应问题，研究文献较多。但是大部分文献均是通过变换获得了半解析解，对频率-波数域以及时间-空间域的波动特性和频谱成分研究却很少。实际上，在工程应用中，这些特性反而是最重要和最值得关注的。本文针对这些特性进行研究，以指导工程的设计以及施工。

2 控制方程

Biot在饱和多孔介质波动方程中，考虑了土骨架以及流体之间的惯性相互作用，但是此项ρa占比很小且实验有难度，所以之后的大多数研究将此项忽略不计。此时Biot方程可以简化为

式中 wi为流体相对于弹性介质的位移，ui为弹性介质部分的位移；λ和μ为饱和多孔介质的Lame常数，可以通过实验确定；（·）和（··）为方程对时间t的一阶导数和二阶导数；α和M为考虑两相材料压缩性的Biot常数；ρ＝nρf＋（1－n）ρs，n为土的孔隙率，ρs和ρf分别为弹性介质和流体的密度；m＝ρf／n，b表征弹性介质和空隙流体的内部摩擦力，一般情况下均忽略，取b＝0，则方程可以简化为

式中 δij为 Kronecker delta符号；θ＝ui，i和ζ ＝－wi，i分别为弹性介质以及流体的体积应变；p和σij分别为流体压力和总应力分量。

位移矢量ui和wi（i＝1，2）可以用6个势函数

将式（5a，5b）代入式（1，2），可得

为了求解此方程，利用Fourier变换：

对方程（6）进行 Fourier变换，得到关于1，2，φj（j＝1，2）和Φj（j＝1，2）在波数-频率域的常微分方程，求解后得到，

式中 ｛Δ｝＝｛A B C D E F｝T

当岩层分布较深，可把上部地基考虑成半空间，此时｛R（z）｝的正指数项不存在。即｛R（z）｝＝

此时｛Δ｝由6个参数减少为4个，即｛Δ｝＝｛A B C D｝T。

3 方程求解

工程中经常将大范围的地基简化为半空间，从而使边界条件容易确定。移动荷载作用下的饱和半空间可以简化为图1所示。移动荷载假设为矩形荷载（荷载长为2a，宽为2b，大小为F，速度为c，频率为ω0）。t＝0代表移动荷载移动到x＝0和y＝0处。此时边界条件如下，

根据上述边界条件，方程（8）的解为

4 动力响应特性分析

4.1 波的弥散特性

图1 饱和半空间Fig.1 Saturation half space schematic

r4和r5中的 （λe＋2μe）／ρe和μe／ρe分别为弹性介质中的P波波速和S波波速的平方。另外，将式（11）的分母定义为

令Δ＝0，得到

另外，Rayleigh波是面波，则η＝0，式（13）可简化为

式（14）即为弹性介质的Rayleigh方程。另外从上述分析可知，弹性介质的P波、S波和Rayleigh波都与频率无关，不存在弥散性。

同理，饱和方程中的指数项因子r1，r2和r3中L1，L2和S表达式分别为饱和土P1波、P2波和S波的复波数。可以看出，饱和土中的P1波、P2波和S波都是频率相关函数。

将式（8）中饱和土的分母定义为Δ，并令η＝0，则经整理后，

式（15）代表饱和多孔介质的R波方程，也是频率相关函数。

为了给出弥散曲线，饱和土和移动荷载赋值列入表1。

表1 饱和土及移动荷载相关参数Tab.1 Parameters of a soil

饱和地基中P1波、P2波、S波和R波的弥散曲线分别如图2～图4所示，其中fc＝nb／（2πρf）。可以看出，P1波、P2波、S波和R波这几种饱和土波的波速均是f／fc相关联函数，随频率而变动，即这几种波均存在弥散性。

对P2波（慢纵波）这种饱和土独有的体波来说，波速随着频率的增加而逐渐增加，弥散性明显。在频率较小时，P2波波速很小，可以忽略。分析波动方程，发现此时饱和土的渗透性小，孔隙流体与土骨架两相介质之间的相对运动很小。此时，土骨架-流体二相介质可以当做单相弹性介质。在f／fc超过一定值后 （log（f／fc）≥10），P2波波速基本保持不变，此时饱和土的渗透性好，弹性耦合和惯性耦合作用明显，两相介质特性明显。

图2 P1波（快纵波）的弥散曲线Fig.2 Wave dispersion curve of P1

图3 P2波（慢纵波）的弥散曲线Fig.3 Wave dispersion curve of P2

图4 S波和R波的弥散曲线Fig.4 Wave dispersion curve of Sand R

对于P1波、S波和R波来说，波速呈明显的阶梯状分布。在log（f／fc）＜0.1和log（f／fc）≥10时，波速基本保持不变。在log（f／fc）＝1附近时，波速发生了很明显的跳跃式变化，弥散性明显。所以fc可以定义为饱和土的特征频率，工程中特征频率尤为重要。

4.2 波的多普勒效应

车由远而近鸣喇叭，听到的声音越来越高；远去的车鸣喇叭，听到声音越来越低，此即声波的多普勒效应。地基中的弹性波也有这种现象。

依据Dirac’s函数和波的特性，得到

即ω＝ω0／（1±MR），为 Rayleigh波的多普勒效应。其中MR＝c／cR，c为移动荷载的速度。同理，P1波、P2波和S波分别对应为MP1，MP2和MS。图5形象表达了ω0＝0以及ω0＝100rad／s时波的多普勒效应。可以看出，P1波的波速＞P2波的波速＞S波的波速＞R波的波速。当荷载为移动常值荷载 （ω0＝0），从图5（a）可以看出，c＜cR时，表征移动荷载的直线和几种波没有任何联系，地基中没有波的传播；c＞cR时，此直线和R波有交点，地基中方才开始有波传播。荷载为移动简谐荷载（ω0≠0）时的情况如图5（b）所示。可以看出，即使荷载速度为0，也有波的传播。

图5 波的多普勒效应Fig.5 Wave Doppler effect schematic diagram

4.3 波的成分分析

各类波携带不同比例的能量，地基土在移动荷载作用下引起的响应均是由这些波叠加而成，在频率-波数域中分析各类波的组成。

图6给出了ω＝400rad／s，MR分别为0，0.5，1.5和4时的频率-波数域解的云图。可以看出，MR＝0时，荷载不移动，各类波从荷载作用点向外传播，各波呈圆状，圆的最外边为速度最快的P1波，里面依次为P2波、S波和R 波；当MR＝0.5时，荷载开始移动，云图呈现椭圆状，各波分量的大小和位置都发生了变化；MR＝1.5对应于cR＜c＜cs，R波为双曲线，P1波、P2波和S波仍为椭圆状；MR＝4对应于cs＜c＜cP2，R波和S波为双曲线，P1波和P2波为椭圆，其他的情况依次类推。

4.4 地基响应频率

对频率-波数域的解式（8）进行逆Fourier变换，并经过简化得到时间-空间域的解为

图6 ω＝400rad／s时的频率-波数域云图Fig.6 Cloud map in the wave number-frequency domain whenω＝400rad／s

该解包括位移、应力以及空隙水压力在x和z方向的分量。由于式（17）仍然是积分形式，当 ξ →∞时，被积函数衰减很快，所以可以截断积分范围。采用文献［11］的方法，对式（17）进行数值叠加，可以得到时间-空间域的数值解。

图7分别给出了f0＝10Hz和f0＝20Hz时，地基表面振动位移u 与2 MRt／ MR2－1之间的关系。可以看出，在MR＞1时，t＜0一侧位移很小，这是因为携带主要能量的Ralyleigh波速小于荷载移动速度，造成Rayleigh波尚未传播至此点。另外可以看出，图7（a）的频率为10Hz，图7（b）的频率为20Hz，与移动荷载的频率f0一致，所以地基表层的振动频率为

式（18）可以表示为

式中fbeh为向后传播的Rayleigh波频率，ffro为向前传播的Rayleigh波频率。方程（19）表明，在移动荷载作用下，地基中会产生一类向前传播的Rayleigh波和一类向后传播的Rayleigh波；当移

图7 地基表面竖向位移与2 MRt／ MR2－1 的关系Fig.7 Relationship between vertical displacement and 2 MRt／ MR2 －1

动荷载速度大于Rayleigh波速时，这两类Rayleigh波会在荷载作用点之后发生叠加，此时动力响应频率f即为这两种Rayleigh波频率的叠加。Morse等［15］在研究空气动力学时也提出过类似的表达式。

5 结 论

（1）相比弹性介质，饱和地基中的波具有弥散性，饱和地基比弹性介质多一种P2波。

（2）当f0＝0，c＜cR时，饱和地基中没有波的传播；当f0＝0，c≥cR时，地基中开始有波传播。

（3）P1波、S波和R波的波速随频率呈明显的阶梯状分布。在log（f／fc）＜0.1和log（f／fc）≥10时，波速基本保持不变；在log（f／fc）＝1附近时，波速发生了跳跃性变化。所以fc可以定义为饱和土的特征频率。P2波的波速随着频率的增加逐渐增加，弥散性明显，在频率较小时两相介质特性不明显；在f／fc超过一定值后，P2波的波速基本保持不变，两相介质特性明显。

（4）移动荷载作用下，地基动力响应的振动频率为向前和向后传播的Rayleigh波频率的叠加，具体为 （2 MR／ MR2－1 ）f0。