数列模型的实际应用分类解析

黄宁

[摘   要]从四个方面分析数列模型在解决实际应用题中的应用，以培养学生运用数列模型解决实际生活问题的能力.

[关键词]数列;模型;分类;应用

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0030-02

在我们的日常生活中，数列问题随处可见.比如，银行计息问题、人口增长问题、植树造林问题、养老金问题等.学习的目的是什么？就是为了解决实际问题.那么，在数列知识的实际应用中，主要涉及哪些基本模型呢？

一、等差模型

当实际问题满足在变化过程中增加或减少的是一个固定量时，可把它视为等差模型，这类实际问题可利用等差数列的有关知识加以解决.

[例1]小朋友王伟和贾亮相约世纪广场玩机器人游戏，他们让自己的机器人分别从相距70 m的两处同时相向运动.王伟的机器人第1分钟走2 m，以后每分钟比前一分钟多走1 m，而贾亮的机器人每分钟都走5 m.请问：（1）俩机器人开始运动后几分钟相遇？（2）如果俩机器人到达对方起点后立即折返，王伟的机器人继续每分钟比前一分钟多走1 m，贾亮的机器人继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后它们再次相遇？

分析：从数列角度看，王伟的机器人每分钟行走的路程可看成首项为2，公差为1的等差数列，而王伟的机器人每分钟行走的路程不变，可看作是常数数列，故本题可用等差模型来解.

解：（1）设[n]分钟后俩机器人第1次相遇，依题意，有[2n+n（n-1）2+5n=70]，整理得[n2+13n-140=0]，解得[n=7]，[n=-20]（舍）.

故倆机器人第1次相遇是在开始行走后7分钟.

（2）设[n]分钟后俩机器人第2次相遇，依题意，有[2n+n（n-1）2+5n=3×70]，整理得[n2+13n-420=0]，解得[n=15]，[n=-28]（舍）.

故俩机器人第2次相遇是在开始行走后15分钟.

二、等比模型

如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.等比数列模型往往也涉及等比数列求和公式的应用.

[例2]在德国的一个小镇上曾经发生过一个令人动容的故事——九岁孤儿寻母.这位孤儿名叫彼得.他以助人为乐的形式表达对母亲的思念之情，他在帮助他人之后，恳请被帮助者也去帮助10位需要帮助的人，依次接力下去，被帮助的每个人都这样把爱心继续传递给不同的人.彼得相信，母亲总有一天也会成为被帮助者.假如德国有8220万人口，请你用数列的观点回答下列问题： （1）当n天过去后，用[Sn]表示被帮助者的总人数，请求出[Sn];（2）试问最多第几天，彼得的母亲也会成为被帮助者？

分析：据题意，第1天被帮助的人数为[a1=1]，第2天被帮助的人数为[a2=1+10]，第3天被帮助的人数为[a3=1+10+100]……第[n]天被帮助的人数为[an=1+10+100+？+10n-1]，显然，数列[{an}]成等比数列，故本例是个等比模型.

解：（1） 据题意，第[n]天被帮助的人数为[an=1+10+100+？+10n-1] [=10n-19] .

设到第[n]天为止，得到帮助的总人数为[Sn]，则

[Sn=10-19+102-19+？+10n-19=19（10+102+？+10n-n）] [=1910n+1-109-n] .

（2）由[Sn=1910n+1-109-n≤8220×104=8.22×107].

可以这样估算：当[n=8]时，[S8] [=12345678<8220×] [104];当[n=9]时，[S9] [=123456789>8220×] [104]. 因此最多第9天，彼得可以如愿以偿.

三、等差与等比综合模型

有些应用问题，既含有等差模型，又含有等比模型，需通过两种模型的综合，才能解决有关问题.

[例3]我们只有一个地球，保护地球就是保护我们人类自己.自党的十八大以来，“环保”意识越来越深入人心.保护环境，人人有责.为了净化空气，滨河市准备用几年的时间把正在使用的一万辆燃油车更换为电力型和混合动力型机动车.先在年初投入128辆电力型公交车和400辆混合动力型公交车.并拟以后每年电力型公交车点的投入是上一年的1.5倍，而混合动力车的投入每年比上一年多投入a辆.试问：（1）经过[n]年后，滨河市会出现多少辆新公交车？（2）滨河市准备在7年内让燃油车全部“下岗”，那么[a]的最小值是多少？

解：（1）设第[n]年投入的电力型公交车为[an]辆，第[n]年投入的混合动力型公交车为[bn]辆，数列[{an}]是等比数列，且[a1=128]，公比为[q=1+0.5=32] .数列[{bn}]是首项为400，公差为[a]的等差数列.

数列[{an}]的前[n]项和[Sn=128×1-32n1-32=25632n-1] .数列[{bn}]的前[n]项和[Tn=400n+n（n-1）2a]，所以经过[n]年，该市更换的公交车总数为：

[S（n）=Sn+Tn=][25632n-1][+400n+n（n-1）2a].

（2）若计划7年内完成全部更换，所以[S（7）≥1000]，

所以 [256327-1+400×7+7×62a≥1000]，即[21a≥2082]，所以[a≥1461621].又[a∈N？]，所以[a]的最小值为147.

四、递推数列模型

有些应用问题，既不是等差模型，又不是等比模型，它给出的是一种递推关系.如何将这种递推关系通过变形变成等差模型或等比模型，需要解题者自行探索.一是从特殊到一般，即先计算出该数列的前几项，由此归纳出通项公式，再加以检验.对递推关系式进行合理配凑，直接配成等差数列或等比数列.

[例4]一位幼儿园老师给班上[k（k≥3）]个小朋友分糖果.她发现糖果盒中原有糖果数为[a0]，就先从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的[12]分给第一个小朋友;再从别处抓2块糖加入盒中，然后把盒内糖果的[13]分给第二个小朋友，以后她总是在分给一个小朋友后，就从别处抓2块糖放入盒中，然后把盒内糖果的[1n+1]分给第[n（n=1，2，3，？，k）]个小朋友.设分给第[n]个小朋友后（未加入2块糖果前）盒内剩下的糖果数为[an].

（1）当[k=3]，[a0=12]时，分别求[a1，a2，a3];

（2）请用[an-1]表示[an];令[bn=（n+1）an]，求数列[{bn}]的通项公式.

分析：欲求数列[{bn}]的通项公式，关键是找到数列[{an}]的递推关系，为此可以通过[a1]与[a0]的关系，[a2]与[a1]的关系，[a3]与[a2]的关系，归纳出[an]与[an-1]之间的递推关系.

解：（1）当[k=3]，[a0=12]时，[a1=a0+2-12a0+2=7]，[a2=a1+2-13a1+2=6]，[a3=a2+2-14a2+2=6] .

（2）由题意知[an=an-1+2-1n+1an-1+2=nn+1an-1+2]，[∵][bn=（n+1）an]，[∴bn-bn-1=2n]，

[∴bn-bn-1=2n  ，  bn-1-bn-2=2n-2  ，？ ， b1-b0=2] .

累加得[bn-b0=2+2n2n=nn+1]，又[b0=a0]，[∴]故 [bn=nn+1+a0] .

（责任編辑 黄桂坚）