用基本不等式求最值的技巧

吴雨飞

[摘   要]文章结合实例分析研究用基本不等式求最值的方法、技巧，以提高学生的解题能力.

[关键词]基本不等式;最值;技巧

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2019）35-0016-02

基本不等式在解决数学问题中有着广泛的应用，尤其是函数最值问题.利用基本不等式求最值的关键之一是抓住“一正二定三相等”;关键之二就是合理变形，将已知表达式等价转变成含有基本不等式结构的式子.那么，在遇到具体问题时还需用到哪些技巧呢？

技巧一：凑项

函数表达式具备基本不等式的“特征”，是利用基本不等式求函数最值的基本要求.当所求式子不完全符合基本不等式的“特征”时，“凑项”是值得一试的方法.

[例1]当[x<54]时，试问函数[y=4x-2+14x-5]有最大值吗？若有，请求出结果.

分析：由于[4x-5<0]，故需“调整”符号，但[（4x-2）·] [14x-5]不是常数，故必须对[4x-2]进行变形.

解：[∵x<54 ，∴5-4x>0]，[∴y=4x-2+14x-5=]    [-5-4x+15-4x+3][≤-2+3=1].当[5-4x=15-4x]时，即[x=1]时，等号可以取到，所以当[x=1]时，[ymax=1].

技巧二：凑系数

在基本不等式应用中，为了使两式的和为定值，往往需要先凑相关项的系数.

[例2]已知[x∈0，13]，求函数[y=x1-3x]的最大值.

分析：本题是求正数积的最大值，因此其和必须为定值.但是[x+1-3x=1-2x]也含有变量为[x].为了使“和”为定值，必须使[x]的个数增加为三个，通过配凑系数，问题解决自然水到渠成.

解：[y=x1-3x] = [133x1-3x≤133x+（1-3x）22=112]，当且仅当[3x=1-3x]，即[x=16]时取到等号，所以[x=16]时，[ymax=112].

评注：如果所给的式子不符合“定值条件”，则应该根据需要对式子进行拆项（注意要平均拆）和配系数变形后再求解.

技巧三：凑积

为了让题中的条件满足基本不等式应用的条件，有时需要通过添加负号凑积.

[例3]若[x<0]，求[y=x+16x]的最大值.

分析：因为[x<0]，在利用基本不等式求解时，需要化为两个正数的和，而[-x>0]，可将函数化成[y=-（-x）+-16x]，则问题就可以得到解决.

解：[y=-（-x）+-16x] ，则[（-x）+-16x ] [≥] [2-x·16-x]   [=8]，所以[-（-x）+-16x≤-8]，當且仅当[-x=-16x]，即[x=-4]时取到等号，所以当[x=-4]时，[ymax=-8].

技巧四：换元

当分母出现多项式时，通过将分母换元可达到利用基本不等式解题的目的.

[例4]求[y=x2+7x+10x+1（x>-1）]的值域.

分析：本题看似无法运用基本不等式，其实不然.可先换元，令t=x+1，化简原式再分离求最值.

解：令t = x+1，则[y=（t-1）2+7（t-1）+10t=t2+5t+4t=t+4t+5].当[x>-1]，即[t=x+1>0]时，[y≥2t×4t+5=9]，当[t=2]，即[x=1]时，取“=”号.

点评：对于分式型函数的最值问题，一般可直接把分式恒等变形，运用拆分手段，将其变为[y=mg（x）+Ag（x）+B（A>0，B>0）]的形式，这里[g（x）]必须恒正或恒负，最后利用基本不等式来求出它的最大值或者最小值.

技巧五：整体（常数）代换

当条件是一个等式时，一般可将这个等式作为整体进行代换，再利用基本不等式求最值.

[例5]已知[x>0，y>0]，且[1x+9y=1]，求[x+y]的最小值.

分析：由[1x+9y=1]，得 [x+y=1x+9yx+y] ，即[x+y=yx+9xy+10].如此，即可用基本不等式求最小值.

解：[∵x>0  ，  y>0  ， 1x+9y=1]，[∴x+y=x+y1x+9y=] [yx+9xy+10≥6+10=16] .当且仅当[yx=9xy]时，上式等号成立.又[1x+9y=1]，可得[x=4，y=12]时，[x+ymin=16] .

评注：本题通过常数代换，为利用基本不等式求最值创造了条件.值得注意的是，当连续多次利用基本不等式求最值时，必须关注等号是否能同时取到，否则必出错.

技巧六：先平方

对于某些根式，为了创造条件利用基本不等式求其最值，必须先对其进行平方，以改变原有的式子结构.

[例6]求函数[y=2x-1+5-2x  12

分析：注意到[2x-1]与[5-2x]的和为定值，故考虑将[y]平方.

解：[y2=（2x-1+5-2x）2=4+2（2x-1）（5-2x）≤]  [4+（2x-1）+（5-2x）=8].又[y>0]，所以[0

点评：将无理函数进行平方，可把未知数集中在根号里，从而为利用基本不等式扫除障碍，但最终结果还要开方还原.

技巧七：转化为解不等式问题

利用基本不等式，可以把等式变成含有欲求量的不等式，从而通过解不等式，求出欲求量的求值范围.

[例7]已知[a>0]且[b>0]，[a]与[b]满足[2b+ab+a=30]，试求函数[y=1ab]的最小值.

分析：二元函数求最值一般有两种思路.一是利用条件进行等式消元，化二元为一元;二是利用整体思想，借助基本不等式，将原等式转化为含有[ab]的不等式，进而求出它的范围，最后再求函数[y=1ab]的范围或最值.

解：将已知等式变形，得30-[ab]=[a+2b]，

[∵a+2b≥][22ab]， [∴30-ab≥][22ab].

設[u=][ab>0]，则[u2]+[22][u] [-30≤0]， 解之，得[0][<][u] [≤][32] .∴[0

[∴y≥][118]，故函数[y=1ab]的最小值是[118] .

点评：要从已知等式[ab=a+2b+30] [（a，b∈R+）]出发，借助基本不等式求出[ab]的范围，最关键的是发现[a+b与ab]之间的关系，利用不等式[a+b2≥ab] [（a，b∈R+）]，将已知等式转换成含ab的不等式，便可解得ab的范围.本例采用了第二种思路，体现了等式与不等式之间的内在联系.

（责任编辑 黄桂坚）