本是同“根”生

张 瑜

南京市第十二中学 江苏南京 210011

一、提出问题

我们知道，将两个相交的圆的方程相减，得到两圆公共弦所在直线方程，如果将两个不相交的圆的方程相减，会得到什么呢？它具有什么性质呢？

很明显，这个方程表示的是一条直线l。它有什么性质呢？设点 为直线上的任意一点，由（*）式可得：

即，所以

，可知 。

这说明，将两圆的方程作差可以得到一条直线方程l，过l上的任意一点作两圆的切线，则两切线长相等，这条直线叫做两圆的“根轴”。利用这一结论，我们可以方便地解题。

二、根轴的由来和相关性质

1．根轴的定义和方程

平面几何中有一条著名的定理——圆幂定理：过平面上一定点M，任作一直线与半径为R的定圆O交于A、B两点，则MA MB为定值k（这里MA、MB、表示有向线段的数量），并且 。定值k为点M对圆O的幂，简称“圆幂”。可以证明：对于不同心的两定圆等幂的点的轨迹，是垂直于连心线的一条直线，该直线称为两圆的根轴，也称等幂轴。

当点在圆内时，点对圆的幂小于零；当点在圆上时，点对圆的幂等于零；当点在圆外时，点对圆的幂大于零（其值等于该点到圆的切线长的平方）。因此，对两圆等幂的点或者同在两圆内，或者同在两圆上，或者同在两圆外（此时该点到两圆的切线长相等）。特别的，当两圆相交时，根轴即两交点的连心线；当两圆相切时，根轴即为过切点的公切线；当两圆外离或内含时，根轴与两圆均不相交。

2.根轴的性质和相关结论

根轴的性质如下：

（1）平面上任意两圆的根轴垂直于它们的连心线；

（2）若两圆相交，则两圆的根轴为公共弦所在的直线；

（3）若两圆相切，则两圆的根轴为它们的内公切线；

（4）蒙日定理（根心定理）：平满上任意三个圆心不共线的圆，它们两两的根轴或者相互平行，或者交于一点，这一点叫做它们的根心。

三、根轴的应用

由于根轴有明显的几何意义，其方程又很容易直接构造获得，因此利用它解决问题，很多时候非常方便有效。下面把考试中常考的几个题型利用根轴的性质来解答，拓宽我们的视野。

1.求切线的方程

2.求圆方程问题3.求对称圆的方程

这些经典的题目，换了一种思路来做，开拓了思维，带给我们更多的思考和启发，让教师们的解题思路多维且具有一定的高度。

要给学生一碗水，教师得是自来水。教师虽然面对的知识没有变化，但自己要善于学习，丰富自己的知识，拓宽自己的眼界，做一个研究型的教师。

圆和直线题，有“轴”不要急，本是同“跟”生，构造来解题。