复变函数中闭曲线积分的类型及求法归纳

【摘要】复变函数中闭曲线积分在理论和实践中都占据着重要地位，本文针对不同类型的积分进行总结和方法归纳，并给出相应的习题作为参考。

【关键词】复积分 闭曲线积分 奇点

【Abstract】The closed curve integral in the complex function occupies an important position in both theory and practice. This paper sums up the different types of integral ， and gives the corresponding exercises as a reference.

【Keywords】Complex integral； Closed curve integral； singular point

【中图分类号】G64；O17 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）44-0229-01

在复变函数中，积分法是研究函数性质的重要方法，一些定理的证明和推广要用到积分，同时它又是解决实际问题的有力工具。复积分与实积分相比具有其自身优点，类型明确，针对性强，覆盖面广，因此实际问题中复积分的应用越来越广泛。其中闭曲线积分在复积分中又占有相当重要的地位。鉴于上述情况，本文主要对复闭曲线积分进行系统总结归纳，力争用更简洁的方式将不同类型积分和求法呈现出来。

为叙述方便，若无特别说明，记C为任一封闭曲线，D为由曲线C围成的单连通域。

1.复平面内处處解析函数的闭曲线积分

由柯西-古萨基本定理[1]知，单连通域内处处解析的函数，沿该区域内任一条封闭曲线的积分均为零。而整个复平面为单连通域，其上任一解析函数沿任一闭曲线积分为零。

基本初等函数如指数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、常函数等以及由它们的和、差、积构成的函数均为复平面内的解析函数，故闭曲线积分均为零。

如？蓐 z3edz=0，？蓐 e2zcoszdz=0，C为复平面内任一封闭曲线。

2.函数有奇点，但奇点在封闭曲线之外

因为奇点在圈外，所以函数在曲线围成的单连通域内处处解析，仍用柯西-古萨基本定理得结论。

3.函数有奇点，奇点在封闭曲线内外均存在

根据复合闭路定理和上述第二种情况，只需考虑内部奇点即可。

3.1若曲线内仅有一个奇点z0，且被积函数为 的形式（z0记为I型奇点） ，其中f（z）在C内区域解析，则应用柯西积分公式[1]，得

3.2 若曲线C内仅有一个奇点z0，且被积函数可化为 的形式（z0记为II型奇点），其中f（z）在D内解析，则由高阶导数公式[1]，得

3.3 若C内奇点不止一个，且既有I型奇点，又有II型奇点，则结合复合闭路定理[1]，柯西积分公式和高阶导数公式来求解。

例1.求积分 dz，C：|z|=2的正向。

解：C内有两个奇点z=0和z=1，在C内作两个互不包含，互不相交的正向圆周C1和C2，且C1只包含奇点z=0，C2只包含奇点z=1，由复合闭路定理

3.4 若C内奇点不止一个，且为综合性奇点（非I型、II型奇点），既若z=z0为奇点，则z0不仅仅只含在部分公式中，还存在其它位置，如 的奇点z=k？仔（k=0，±1，±2，…）， 的奇点z=0，不仅含在分母因式中，也含在指数位置等。对于此类积分，形式复杂，不是部分分式情况，则不符合前面公式的条件，所以前述方法不适用，因此为了计算有了更一般，且具有普遍适用性的方法——留数定理[1]，即

其中z1，z2，…，zn为f（z）在C内的n个孤立奇点，留数定理注重奇点的分类，它是对于不同类型奇点都适用的一种方法，再结合留数计算的规则[1] I、II、III闭合曲线积分均可解决，而柯西-古萨基本定理，柯西积分公式和高阶导数公式均为留数定理的特殊情况。

例2.计算积分？蓐 dz，C：|z|=1的正向。

解：z=0为C内奇点，且z=0为e2z-1的一级零点，为z2的二级零点，故z=0为 的一级极点。

应用留数定理及规则I，

4.小结

综上可以看出，针对不同类型闭曲线积分，留数定理是适用范围更广，也是比较简单的一种方法，计算量小，但它需要判断奇点的类型，所以应用留数定理求积分需要具备较好的理论基础；而其它方法适用范围有限，有时计算量大，但奇点类型可以直接观察出来，不需要计算。几种方法各有利弊，在计算过程中应根据问题实际情况选择合适方法，从而方便我们计算。

参考文献：

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数（第四版）[M].北京：高等教育出版社，2011.5，p75-87，p154-156.

作者简介：

刘卉（1987-），女，河北唐山人，讲师，硕士，主要从事基础数学研究。