二次函数攻略

焦倩玉

函数是数学中极为重要的基本概念，是数学学习中的重要知识点.二次函数是一种重要的代数函数，是描述现实世界变量之间关系的重要数学模型，也是中考的常见考点.同学们应能结合具体情境体会和理解二次函数的意义，能根据已知条件确定它们的表达式，会画它们的图像，能结合图像讨论二次函数的性质，确定图像的顶点和对称轴，并能利用这些函数分析和解决简单实际问题.

考点一 运用二次函数解决最值问题

例1 （2018·辽宁锦州）某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y（个）与每个商品的售价x（元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：

每个商品的售价x（元）每天的销售量y（个）… …30 40 50 100 80 60… …

（1）求y与x之间的函数表达式.

（2）设商场每天获得的总利润为w（元），求w与x之间的函数表达式.

（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？

【解析】根据函数表达式求二次函数的最ax2+bx+c有最大（小）值问题情境下，二次函数中自变量的取值范围不一定是全体实数，所对应的图像也可能是抛物线的一部分.

解：（1）设y与x之间的函数解析式y=kx+

即y与x之间的函数表达式是y=-2x+160.

（2）由题意可得，w=（x-20）（-2x+160）=-2x2+200x-3200.

即w与x之间的函数表达式是w=-2x2+200x-3200.

（3）∵w=-2x2+200x-3200=-2（x-50）2+1800，20≤x≤60，

∴当20≤x≤50时，w随x的增大而增大.

当50≤x≤60时，w随x的增大而减小.

当x=50时，w取得最大值，此时w=1800元.

即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800元.

考点二 用待定系数法确定二次函数表达式

例2 （2016·江苏南京）下图是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m.从O，A两处观测P处，仰角分别为α，β，且.以O为原点，OA所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy.

（1）求点P的坐标.

【解析】用待定系数法确定二次函数表达式通常有两种方式：①设为一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）；②设为顶点式：y=a（x-h）2+k（a≠0）.要根据题目已知条件选择合适的表达式.若函数图像对称轴为y轴，则一般式中的b=0；若函数图像经过原点，则一般式中的c=0；若已知顶点，则优先考虑顶点式.

解：（1）过点P作PB⊥x轴于B.设点P的纵坐标为t，则PB=t.

（2）设这条抛物线的函数表达式为y=ax2+bx.

x2-x1=（2+ 2）-（2- 2）=22 ≈2.8m

答：水面上升1m，水面宽2.8m.

考点三 二次函数的图像与性质

例3（2017·江苏南京）已知函数y=-x2+（m-1）x+m（m为常数）.

（1）该函数的图像与x轴公共点的个数是（ ）.

A.0 B.1 C.2 D.1或2

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（2）求证：不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y=（x+1）2的图像上.

（3）当-2≤m≤3时，求该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围.

解：（1）∵y=-x2+（m-1）x+m，

∴a=-1，b=m-1，c=m，

∴b2-4ac=（m-1）2-4×（-1）×m=m2+2m+1=（m+1）2≥0.

∴该函数的图像与x轴公共点的个数为1或2，故选D.

（2）∵y=-x2+（m-1）x+m，

∴a=-1，b=m-1，c=m，

故该二次函数图像的顶点坐标为：

∴不论m为何值，该函数的图像的顶点都在函数y=（x+1）2的图像上.

当m＜-1时，z随m的增大而减小；当m＞-1时，z随m的增大而增大.

∴当-2≤m≤3时，该函数的图像的顶点纵坐标的取值范围是0≤z≤4.

对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它的顶同学们应能够熟练画出二次函数的图像，根据图像研究它们的性质.在实际问题中，可根据二次项系数的正负性、函数图像的开口方向不同，判断在自变量的取值范围内所对应的函数的取值范围，从而解决最值问题.