改编课本例题 聚焦中考考点

二次函数是研究实际生活中某些常见最优化问题的常用数学模型，是初中数学的重点内容，蕴含了函数的主要思想方法.对二次函数的深入研究可以为今后进一步学习其他函数知识积累丰富的数学经验.在这一章的内容中，教材中的例题更为突出地体现了对二次函数核心知识和重要思想方法的考查.很多地区的中考题都源于教材，以熟悉的素材为背景进行挖掘并拓展.下面对苏科版教材中本章知识的例题进行延伸，以帮助同学们巩固知识和方法，提升学习能力.

例1（改编自第17页例题）二次函数y=-x2-4x-m（m为常数）.

（1）当m=6时，画出函数图像，指出顶点坐标、对称轴、最大值或最小值.

（2）函数y=-x2+4x-1经过怎样的平移能与（1）中图像重合？

（3）若函数y=-x2-4x-m图像顶点在一次函数y=2x图像上，求m的值.

【解析】（1）要画出函数的图像，可先将函数表达式变形为y=a（x+h）2+k的形式，也可将a、 b、c的值代入顶点坐标公式求出顶点坐标，再通过列表、描点、连线，画出图像.

m=6时，经过计算，我们可以得到顶点坐标为（-2，-2），对称轴是过点（-2，-2）且与y轴平行的直线，当x=-2时，有y最大值=-2.

（2）当a相同时，二次函数图像的形状大小一样，若要图像重合，让顶点重合即可.将函数y=-x2+4x-1图像的顶点（2，3）平移到（-2，-2）的过程是：先向左平移4个单位，再向下平移5个单位，可使图像重合.

（3）先求出函数y=-x2-4x-m图像的顶点坐标为（-2，4-m），再将该顶点坐标代入一次函数表达式y=2x，转化为关于m的一元一次方程之后，求出m值等于8.

例2（改编自第22页例3）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像经过点（0，-6），（3，0），（-1，0），求二次函数的表达式.

【解析】方法一：由二次函数图像经过点（0，-6），可知c=-6，可设二次函数表达式为y=ax2+bx-6，将点（3，0），（-1，0）代入，解方程组得a=2，b=-4.

所以二次函数表达式为y=2x2-4x-6.

方法二：点（3，0），（-1，0）的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，可设y=a（x-3）（x+1），再将点（0，-6）代入即可，得a=2.

所以二次函数表达式为y=2（x-3）（x+1）=2x2-4x-6.

方法三：由点（3，0），（-1，0）的对称性可知二次函数图像的对称轴是直线x=1，可以设y=a（x-1）2+k，再将点（0，-6），（3，0）代入，解得a=2，k=-8.

所以二次函数表达式为y=2（x-1）2-8=2x2-4x-6.

例3 已知二次函数y=2（x-2）（x-m-1）（m为常数）.求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.

【解析】y=0时，2（x-2）（x-m-1）=0，得x1=2，x2=m+1.

当m+1=2，即m=1时，方程有两个相等的实数根；当m+1≠2，即m≠1时，方程有两个不相等的实数根.所以，不论m为何值，该函数的图像与x轴总有公共点.

类似地也可将此题改编为：

已知二次函数y=（x-m）2-2（x-m）（m为常数）.求证：不论m为何值，该函数的图像与x轴总有两个不同公共点.

同学们可以试着利用上述方法证明.

例4 水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤.通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤.为了保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售.

（1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是多少斤（用含x的代数式表示）？

（2）销售这种水果，要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？

【解析】（1）每斤的售价降低x元，则每天斤，即（100+200x）斤.因为张阿姨要保证每天至少售出260斤，才降价的，所以，当100+200x=260时，x≥0.8.所以0.8≤x＜2.

（2）由每天销售量×每斤盈利=每天盈利300元，得方程（100+200x）（4-2-x）=300，解得时，销售量是200.因为200＜260，即不能保证每天至少售出260斤，故舍去

所以张阿姨需将每斤的售价降低1元.

例5 某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等.下图中的折线ABD、线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1（单位：元）、销售价y2（单位：元）与产量x（单位：kg）之间的函数关系.

（1）请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义.

（2）求线段AB所表示的函数表达式.

（3）当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？

【解析】（1）因为点D是折线ABD与线段CD的交点，所以点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元.

（2）根据线段AB经过的两点的坐标，利用待定系数法确定一次函数的表达式即可.

（3）利用“总利润=单位利润×产量”，列出关于x的二次函数，求得最值即可.

解：（1）点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元.

（2）设线段AB所表示的函数关系式为y1=k1x+b1，因为 y1=k1x+b1的图像过点（0，60）与（90，42），将这两点的坐标代入函数关系式，解方程组，所以这个一次函数的表达式为：y1=-0.2x+60（0≤ x≤ 90）.

同学们要注意线段AB的自变量有取值范围.

（3）设CD所表示的函数关系式为y2=k2x+b2，因为经过点（0，120）与（130，42），同理，所以这个一次函数的表达式为y2=-0.6x+120（0≤x≤ 130）.

设产量为xkg时，获得的利润为W元，当0≤x≤90时，W=x［（-0.6x+120）-（-0.2x+60）］=-0.4（x-75）2+2250，当x=75时，W的值最大，最大值为2250.

当90≤x≤130时，W=x［（-0.6x+120）-42］=-0.6（x-65）2+2535，当x＞65时，W随x的增大而减小，因为90≤x≤130，∴x=90时，W有最大值，最大值为W=-0.6（90-65）2+2535=2160.因为2160＜2250，因此当该产品产量为75kg时，获得的利润最大，最大值为2250元.

我们对例题的学习要掌握方法，积累经验，加深理解函数问题的本质.

如例1中，对图像的平移需理解两个要点：图像形状大小相同转化为a值相同，图像平移转化为关键点（主要是顶点）的平移.

例2中，求函数表达式本质是将问题转化为求常数值，根据提供的条件选择合适的表达式如一般式、顶点式、交点式等，从而转化为方程（组）.

例3要证明图像与x轴有公共点，其本质是证明存在x使y值为0，根的判别式就是由解一元二次方程的公式法中二次根式的定义演化而来，也可以用因式分解法、配方法来说明.

例4和例5关键是理解变量x、y的含义，依据相等关系转化为函数问题，并利用函数性质或方程知识来解决问题.而例5中由于生产成本是折线ABD，故需分类讨论，同时要注意自变量x的取值范围.