浅谈一元二次方程的根和系数联系

陈景东

摘要：本文主要分析一元二次方程的两个根与系数的联系.并从多个方面去论证其中的正确过程。从而达到更加认识的效果。

关键词：方程的根，系数，解方程，χ1，χ2。

一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程 （ ）的两根是χ1，χ2，那么有 。这实际上就是著名的“韦达定理”。运用这个定理，在不解方程的情况下，可以解决许多与一元一次方程的根有关的问题。

一、已知一根求另一根及求未知系数

例1：已知方程 的一个根是5，求另一个根及 的值。

解：设方程的另一个根为 ，根据根与系数的关系得

，得 。

又∵ ，∴ 。

所以，方程的另一个根是1， 的值是5。

二、不解方程，求与根有关的代数式的值

例2 设χ1，χ2是方程 的两个根，不解方程，试求下列代数式的值：

（1） ； （2）

解：根据根与系数的关系得

（1） （2）

；

注：利用根与系数的关系求代数式的值的问题，关键是把所求的代数式通过适当的变形，转化为两根之和或两根之积的形式，然后代人求值。

三、已知两根，求作方程

如果 ， 是一元二次方程 的两根，那么有 。所以 。

通过以上推导，我们得出“韦达定理”的一个推论：

如果一个一元二次方程（二次项系数为1）的两根是 ， ，那么这个一元二次方程是 。

利用这个推论，只要知道一个一元二次方程的两根，就可以写出原方程了。

例3 已知一个一元二次方程的两根是1+ 和1- ，试写出这个方程

解：所求的方程是

。

即

总结以上例子，解决这类问题应注意下面几点：

①已知两数的和与积，可以用根与系数的关系求出这两个数；

②求作一个新的方程，常常无须求出方程的两个根，只要能已知两根之和及两根之积即可；

③运用韦达定理的前提条件是方程必须有实数根，即△≥0。

四、结合根的判别式解决有关一元二次方程的综合题

例4： ：已知 ， 是关于 的方程 的两个正实数根，且满足 ，试求出 的值。

解：∵

∴ 。

將 代人原方程，得：

即 ，解得 。

当 时，△ ， ，即 ， 异号，不合题意，舍去。

当 时，△>0， ，且 ，符合题意。∴ 的值是6。