自然的微积分

本栏目2018年第6期的故事中，鹏飞和浩天在古希腊街头见识了辩才芝诺的才能，分析了他提出的四个著名悖论——“二分法”“追不上乌龟”“飞矢不动”和“运动场”，但是浩天提出的问题，似乎还是没有解决。

浩天：“我的问题还没解决呢！剪刀剪纸上画的线，到底是什么说法？”

鹏飞：“不要急！古希腊的阿布德拉学派认为，万事万物，包括精神和灵魂，都是由在空间移动的原子构成的。这些原子是坚硬且不可再分的微粒，质量相近但是形状和大小各不相同。所有的原子都小得无法被感知。”

浩天：“是的，德谟克利特将这种观点引入到数学中，认为线、面、体也都是由无穷小的点组成。然后呢？如何解释剪刀剪纸上画的线？”

鹏飞：“这样‘原子论就可看成两个部分——‘物理原子论和‘数学原子论。‘物理原子论发展到今天，已经可以解释宏观和微观的许多现象。”

浩天忽然领悟了：“‘数学原子论就是认为几何上的‘体是由‘面累叠而成，‘面是由线并列而成，‘线是由点排列而成，而‘点就是有位置的‘单子，‘单子不可再分。因此毕达哥拉斯认为，一个线段一定是由整数个‘点组成，所以任意两个线段的长度比一定是整数比，或者说自然数之比，也就是说这个比值一定是有理数。由于所有的几何体都是由点构成的，所以毕达哥拉斯只承认有理数，认为大自然不应该存在其他的数。毕达哥拉斯所谓‘万物皆数的‘数，指的就是有理数。我理解了毕达哥拉斯！”

浩天又想起了被扔到大海里喂鱼的希帕索斯，这个人发现等腰直角三角形的斜边与直角边的比不是有理数。他是第一个发现无理数的人，这让毕达哥拉斯极其恼火，也让今天的浩天若有所思。

浩天：“无理数的发现说明‘数学原子论的观点是不对的！”

鹏飞看时机已到，便说：“用现代的观点看，纸是由原子构成的，剪刀也是由原子构成的，纸上画的线也是由原子构成的。剪刀可以剪开纸，是因为原子间结合力更强大的剪刀原子集团，切断了结合力较小的纸原子之间的连接，是原子与原子之间的分割。剪刀口一定是从纸原子间的空隙穿过去的，也是从所画线的原子之间穿过的。剪刀口并不会剪碎某个纸原子，也不会剪坏某个墨水原子。”

“是这么回事。”浩天的思维还在数学里，“那如果用一把理想中的数学剪刀来剪几何上的线，又会怎么样呢？它该如何剪断一根几何线？它会剪到一个几何点上吗？”

鹏飞：“这个嘛……几何上的线，比如一条数轴，是没法剪断的！设想如果它被剪成两段，把这两段分开，那这两段之间是什么？难道还有数吗？”

浩天：“看来是不能分开！那就不能剪了吗？比如画一条线，再画一条和它相交的线，代表数学剪刀要走的路径，这两条线相交一定会有交点吗？”

鹏飞：“当然有交点，线是没有空隙的。根据德国数学家戴德金的实数构造理论，如果把一条实数轴在任意一点分割成不相交的左集和右集，那么这个分割点要么属于左集，这时它就是左集的最大值，而右集没有最小值；要么属于右集，这时它就是右集的最小值，而左集没有最大值。没有其他情况……”

浩天似乎想通了：“实数轴上是不存在‘漏洞的，它是连續的。数学上的线，那上面的每一个点，都没有什么紧挨着它的‘相邻点，因此没有什么从‘两点间的空隙剪过的概念。用数学剪刀剪一条线时，它的确会剪到一个点上，但这个点不会被一剪为二，它总是在被剪成的两条线中的一条上。而现实世界里的剪刀把实际画出的线剪断，与这不是一回事！”

浩天一声感叹：

“也许这就是数学和物理的不同之处吧！”

鹏飞：“数学上不存在不可再分的‘数学原子。物理上存在不可再分的‘物理原子吗？”

浩天：“物理上的不可再分原子是有条件的，现在所说的原子是化学反应中的最小粒子，化学上的原子还可用物理方法，如核反应来改变。”

鹏飞：“比原子更小的微粒是质子和中子。在核反应中，质子、中子是不变的，它们是不可再分的吗？”

浩天：“还有更小的夸克，再小我们得谈论超弦了，再再小……我也不知道了。”

鹏飞：“看来‘物理原子也不好说存不存在。也许，这就是数学和物理的相似之处吧！”