关于素养培育的数学过程阐释

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下称“2011年版课程标准”）从数学思考和问题解决的目标维度出发，将“经历（experience）”“体验（taste）”“探索（explore）”等行为动词作为数学教学的过程性目标。这些行为动词既为数学应用意识和创新意识的发生提供支点，也是培育数学学科素养的具体行为的支撑。PISA 2012从数学过程、数学内容和数学情境三个方面对数学素养的内涵进行了阐述。［1］其中，数学过程包括了“形成数学”“使用数学”和“解释数学”三个维度，与经历、体验、探索描述的过程性目标一致。这里的“形成数学”过程是指经历数学概念的寻求过程，获得心理原型；“使用数学”过程是指体验数学概念的客观行为，形成基本问题；“解释数学”过程是指探索数学概念的事实行为，发展基本思想。为此，我们可以从经历、体验、探索这三个行为动词出发，来阐释数学过程这一数学素养。

一、由经历“形成数学”

2011年版课程标准将“经历”的内涵确定为，“在特定的数学活动中，获得一些感性认识”。经历是感受、尝试的替代概念，是学生数学素养在社会参与维度、自主发展维度和文化修养维度得以实现的执行程序，也是具体章节目标、单元目标以及课时目标得以落实的基本动作。［2］比如，在生活情境中感受大数的意义，尝试发现和提出问题；综合运用方程等数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力等，都必然建立在学生“经历”的基础之上。

笔者以为，形成数学的过程涵盖三个层面的内容：一是经历数学前概念的再发现过程，建立可靠性认知知觉；二是经历前概念思维被看见的过程，建立概念与思维的联系系统；三是经历先行材料的组织过程，建立知识理解和知识表征的内部关系，体现数学素养的本体意义。

在一次数学省优质课评比中，12位选手基于“三个‘一次’关系”（一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）一课的教学展示自己的设计过程。经历整个过程的课堂观察发现，选手们基本上都是“碎片式”的知识教学（如何解一元一次方程、如何解一元一次不等式、如何画出一次函数的图象等），很少有体现这一节课“整体思想”的教学设计。值得欣慰的是，有一位教师采取“顶层设计”方法，围绕“从实践中来，到实践中去”的整体思想进行设计，该节课具体操作流程如下。

首先，让学生任意写出一个简单的一次函数（比如：y=2x+4），画出其函数图象，描述函数值何时大于零、等于零和小于零，这种基于学生认知基础的“引课”行为，反映了执教者对学生认知结构的把控。

其次，让学生研究“弹簧挂重”问题。一是写出弹簧所挂物体的质量（x kg）与其长度（y cm）的函数关系式（y=0.5x+25），并画出函数图象；二是分别求出弹簧长度是30cm、32.5cm、35cm时所挂物体的质量；三是利用刚才画出的函数图象，求出方程 0.5x+25=30、0.5x+25=32.5、0.5x+25=35的解；四是求出弹性限度内（弹簧伸长长度不超过35cm）所挂物体的最大质量；五是在问题解决的基础上，让学生“数学地”表达一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。这种“直观为抽象支架，抽象为直观让道”的整体设计思想，有利于学生认知结构的定向与形成。

最后是拓展研究，即改编苏科版初中数学教材八年级上册第105页的“行李付费”问题（略）。在用待定系数法求出相关量后，执教者又提出两个半开放问题：一是设计一个用一元一次方程解决的问题；二是设计一个用一元一次不等式解决的问题。这种教学设计突出“应用—回流—递进”，反映了数学教育整体教学观，也较好地体现了“从实践中来，到实践中去”的整体教学思想。此外，这种“引入新课→暴露思维→实践检验”的经历是“形成数学”的有效路径，使得概念的揭示过程与学生的知觉水平一致，反映了“经历”所特有的意义。

二、由体验“使用数学”

2011年版课程标准把“体验”确定为“参与特定的数学活动，主动认识或验证对象的特征，获得一定的经验”。体验也是体会的替代概念。比如，结合具体情境，体会有理数加减法则、乘除法则以及混合运算法则的意义；获得分析问题和解决问题的一些方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；初步形成评价和反思的意识等。

笔者以为，“使用数学”至少包括三层意思：一是在直观的观察学习中获得概念的“雏形”，体验概念发生的初始状态；二是在当前表象学习中保持表征概念的反应结果及其与结果有关的环境事件的信息，体验概念得以加工的本质；三是在高阶思维（概括、批判、策略）训练中获取概念的基本体系，体验概念产生的来龙去脉。

当然，任何概念的发生、发展、高潮与结局都是有局限的。体验概念的过程是一种量变过程，同时又是一种质变过程，这也与教材的编写体例相吻合。比如，数感的建立就是一个“平衡—突变—平衡”的“从量变到质变”的渐进过程，突出了有理数范畴、实数范畴、复数范畴等运算本质的相对特征。

不妨以“去括号法则”的教学过程作为“使用数学”的一个范例来加以说明。具体体验的过程设计如下。

第一，创设体验性问题情境，让学生感受法则产生的必要性。比如，在假期的勤工俭学活动中，小丽从报社以每份0.4元的价格购进a份报纸，以每份0.5元的价格卖出b份（b≦a）报纸，剩余的报纸以每份0.2元的价格退回报社，小丽赢利多少元？显然，在求解过程中，涉及去括号问题，即-0.4a+0.5b+0.2（a-b）。这就让学生在寻求答案的过程中，体验到学习“去括号法则”的必要性和紧迫性。同时，从另一个侧面，也说明合理的现实情境能有效地引导学生发现问题，反映概念表象发生的现实意义。

第二，让学生在合理精当的填表及其分析中，体验去括号法则的合理意义。具体见表1及其分析操作。（填写的是表格右边4个式子的结果，为行文需要已填好）

（表1）

观察填写后的表格，你发现了什么？再换几个数试试，结论还成立吗？

追问：你能说明下列关系式：a+（-b+c）＝ab+c；a-（-b+c）＝a+b-c，等号两边发生了哪些变化？你认为去括号法则如何表述？并举例验证其合理性。

第三，让学生在学以致用和表象监控中生长“使用数学”的能力，反映高阶思维的能动作用。具体可分三步走：一是让学生对照法则，指出例题作答的每一步依据；二是让学生任意写一个可以用去括号法则进行运算推理的多项式，并与同伴交换求解意见；三是教师呈现可以变换角度解决的问题，让学生在方法研讨中获得高层次使用数学的能力，体验创新意识和基本方法的可用性。

我们可以把上述的“小丽假期勤工俭学售报纸，计算赢利”的现实情境作为观察学习的概念“雏形”。其中，填表以及对应问题串的设计是概念生长的思维沃土，实现由表象到概念的变迁，这里既有陈述知识到程序知识的转化，也有概念理解到概念使用的迁移，体现概念教学的层次观；学以致用的过程就是高阶思维发挥作用的过程。这些不确定的、变化的过程性特征，与“从思维的抽象发展到思维的具体，在思维中再现事物的整体性和具体性”的观念具有内部的一致性。

三、由探索“解释数学”

2011年版课程标准认为，“探索”是指“独立或与他人合作参与特定的数学活动，理解或提出问题，寻求解决问题的思路，发现对象的特征及其与相关对象的区别和联系，获得一定的理性认识”。获得理性认识的过程就是探索习得经验的内化过程，更新了原有经验结构，实现了新旧经验的同化或顺应。探究、探寻是探索的替代概念，带有“究往穷来”“探明渊源”的特征。比如，在具体问题解决中，探索用字母表示数的简明意义，发展从具体到抽象的归纳思想；在参与观察、实验、猜想、证明、实践活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰表达自己的想法，体会数学的基本思想和思维方式；等等。这些过程性目标是当前“育人目标”的显性特征，既要求数学过程能反映对象解释数学的能力水平，也要求数学过程能反映对象基本经验的获得水平。

“探索”这一行为动词本身就带有强烈的过程性特征。探索的过程就是“解释数学”的过程，“解释数学”的过程就是扩展概念内涵的过程，也是理解概念的思维基础。理解概念是引导学生感受数学的整体性，体会对于某些数学知识可以从不同角度加以分析、从不同的层次进行理解的具体化，反映“解释数学”的经验水平。为此，“解释数学”过程必须突出三个层次：一是引导数学思考，链接相关经验，突出知识内部关系；二是设置问题链，拉长概念思维长度，建立“解释数学”的方法体系；三是设计动手“做”数学支架，积累基本活动经验，达成深度学习目标。

不妨以“用字母表示数”为“解释数学”的一个范例，具体解释程序如下。

首先，让学生基于已有经验和认知水平，提出“人人均能做有所用、思有所成”的记忆性目标，实现概念的先行组织行为。比如，让学生用字母表示学过的运算律；任意画出一个三角形、平行四边形、梯形等并标注字母，用字母表示这些基本图形的面积；用含有字母n的代数式表示任意一个奇数或偶数等。这些先行组织材料为概念的产生提供了思维铺垫，为“解释数学”奠基。

其次，让学生通过研究月历掌握概念。“解释数学”是概念生长的外部表现，是新旧经验得以整合并概括的内在形式。一是让学生在月历的同一行上任意圈出三个数，用字母a表示其中一个数，研究其余两个数如何用含有字母a的代数式表示；二是让学生在同一列上任意圈出三个数，用字母b表示其中一个数，研究

（）（）如何用含有字母b的代数式表示其余两个数；三是用矩形任意框出四个数，用字母c表示其中一个数，研究如何用含有字母c的代数式表示其余三个数等。设置这种贴近生活经验的问题链，有利于学生的“解释数学”素养的发展。

最后，让学生在动手做数学的过程中建立概念体系，落实数学课程教育的育人价值目标和解释数学的数学能力。如图1，按照如（1）～（5）的小正方形的排列方式进行操作：（1）（2）（3）（4）（5）……（9）（10）（n）各有多少个小正方形？思考：（2）比（1）多几个小正方形？（3）比（2）呢？（4）比（3）呢？（5）比（4）呢？……（10）比（9）呢？（n）比（n-1）呢？说说你的想法。结合本次实验的规律，你能找到简单而又快捷地计算式子1+3+5+7+…+997+999的方法吗？请与同学交流。

（图1）

这种带有鲜明高阶思维特征的深度学习行为，突出了“思维为经验让步，经验为方法让步”的“做”数学的特征，聚焦“特殊—一般—特殊”的基本思想和思维方式，反映了解释数学的基本意义。就“解释数学”逻辑理序来说，上述案例中，写出“数学规律”“数学公式”是数学思考的执行动作，反映“解释数学”的先行组织行为。探索“月历中数字规律”的行为是概念生长的内部表现，为后续的整式、方程、函数、不等式等运算经验的获取做好铺垫。动手“做”数学的过程就是概念得以完善的探索过程，也是“解释数学”得以发挥作用的过程，使得概念的逻辑关系敞亮通透，突出了不同角度解决问题的优越性和基本经验的逆向性。