利用算法巧解多种交汇题型

☉山东省青岛西海岸新区第一高级中学 赵洪嘉

交汇整合在算法问题中有较强的体现与渗透，往往将其他相关的数学知识点融合其中，设计背景新颖，能力要求广泛，有效地考查了同学们灵活运用数学知识和数学思想的能力，体现了在知识交汇处命题的原则.

一、算法与函数的交汇

算法与函数交汇主要是以算法的流程图为背景来考查函数的相关问题，解题的关键是通过相应的流程图转化为对应的函数问题（特别是分段函数），利用函数的概念、图像或性质等来解决.

好题1 给定一个算法的流程图，如图1所示，若a是方程2x+x=0的实数根，b是方程log2x+x=0的实数根，c是方程log2x-=0的实数根，则输出x的值是______.

分析：根据算法的流程图确定该程序的目的是三个数逐个比较输出最大值，借助方程与函数的关系，利用指数函数、对数函数、一次函数与反比例函数的图像关系来确定，通过交汇来考查相关知识.

解：根据题意知，该算法的流程图的目的是三个数逐个比较输出最大值，而三个方程均不能直接求解，可以借助于函数的图像来分析.如图2，在同一坐标系中作出y=2x，y=log2x与y=-x的图像，可得a＜0，0＜b＜1，而在同一坐标系中作出y=logx与y=的图像，可得c＞1，所以a＜b＜c，故

图1

图2

2输出的是c.

好题点睛：本题主要考查算法的流程图，函数与方程的关系，函数的图像与性质.这是一个综合算法、函数与方程、函数的图像与性质等知识的交汇试题，通过分析流程图得出所要解决问题的实质，增加了试题难度，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想和方法的考查，注重对数学能力的考查，坚持多角度考查数学素养的要求.

二、算法与不等式的交汇

算法与不等式交汇主要是以算法的流程图为背景来考查函数、不等式的相关问题，解题的关键是通过相应的流程图来确定函数关系式，综合不等式的相关性质来解决创新问题.

好题2 图3是由所输入的x值计算y值的一个算法程序，若x依次取数列｝（n∈N*，n≤2018）的项，则所得y值中的最小值为______.

分析：正确理解相应的算法程序，并将而转化为相应的分段函数，结合基本不等式与函数式的求解来解决最值问题.

解：根据算法程序可知，

图3

那么当n=22时，此时x=44，y取得最小值442+2×44-6=2018.

好题点睛：本题综合了算法初步知识，函数中的分段函数问题，以及基本不等式的应用等，通过多个知识点的交汇与综合来创新问题，达到考查能力与应用的目的.

三、算法与概率的交汇

算法与概率交汇主要是算法的流程图为背景考查相应的概率相关问题，解题的关键是通过相应的流程图来处理对应的数据，结合数据信息利用概率定义、公式等来解决概率的相关问题.

好题3 在可行域内任取一点，规则如流程图4所示，则能输出数对（x，y）的概率为______.

分析：通过算法的流程图的识别，结合对平面区域的确定以及对应面积的计算，利用几何概型的概率公式来求解对应的概率.

图4

而x2+y2≤1表示单位圆及其内部区域.

好题点睛：本题主要通过算法与概率的交汇来达到创新的目的.对算法、概率与统计知识，往往有打破知识条块系统的限制，串点成线，寻找合适的知识载体来达到交汇与综合的题目，此类问题具有方法的多样性，思维的灵活性，能力的综合性等，将有利于提高学习效益.

四、算法与统计的交汇

算法与统计交汇主要是以算法的流程图为背景考查相应的统计相关问题，解题的关键是通过相应的流程图来处理统计的相关问题.

好题4 2017年，对某公司生产的H7N9流感试验疫苗种植后进行数据统计，造成多人出现过敏症状.下面是某地区有过敏症状人数的统计数据：

地区i 1 2 3 4 5 6 7过敏人数x i（个）9 0 9 4 8 8 9 5 8 7 8 6 9 0

为了对上述统计数据进行分析，对某特征数s的计算的算法流程图如图5所示（其中x是这7个数据的平均数），则输出的s是______.

分析：通过算法的流程图的识别，题目中的某特征数s实际上就是该组数据的方差，结合方差的计算公式加以处理，也可以直接根据流程图中的循环过程加以运算.

解：由算法流程图知，题目中的某特征数s实际上就是该组数据的方差，而=90，

好题点睛：本题综合了统计与算法的相关知识，关键是统计图表的识别、统计数据的分析与运算，算法流程图的应用等，并通过算法流程图来确定某特征数s实际上就是该组数据的方差，进而综合多个知识点加以交汇与应用.

图5

五、算法与数列的交汇

算法与数列交汇主要是以算法的流程图为背景来考查数列的相关问题，解题的关键是通过相应的流程图来确定数列的定义、性质、公式等问题.

好题5 阅读如图6所示的算法流程图，则输出的S的值是______.

分析：通过算法的流程图的识别，根据计数变量和累加变量的变化规律确定其功能是数列的求和问题，根据数列通项公式与三角函数值的规律加以运算.

图6

好题点睛：本题主要通过算法与数列的交汇来达到创新的目的.由于数列中的等差数列与等比数列都是规律性比较强的数列，这非常适合用循环结构设计算法，以解决有关的数列问题.注意两者的转化交汇点处的理解与应用.本题融合了三角函数的周期性、三角函数值、数列求和、算法流程图等知识，试题背景一般，综合性强，难度一般，是一类比较典型的交汇问题.

算法是新课标的一扇“窗口”，备考中应对其应用加以理解和掌握.算法知识与其他知识的结合与交汇将是高考的重点，也恰恰体现了算法的普遍性、工具性，当然难度不会太大，重在算理、算法及其思想.W