二次曲线系在圆锥曲线中的应用

罗阳丹

摘 要 众所周知，解析几何是高考中的一个重点与难点，对解析几何知识掌握的好坏与否，一定程度上关乎最终成绩的好坏。然而，运算复杂早已成为解析几何的代名词，对于考试紧迫的时间，尤其对运算能力不强的学生，能用更短的时间和更小的计算量来解出题目会更有信心完成后面的题。而二次曲线是高中人教版必修2中直线与方程中的一个非主干知识点，不属于超纲的内容却在一类题中发挥着不可小觑的作用。在此，笔者介绍圆锥曲线中二次曲线系的应用以解决部分偏难题目。

关键词 二次曲线系 双直线方程 渐近线联立

中图分类号：G633.6 文献标识码：A

背景知识：高中二次曲线包括圆、椭圆、抛物线、双曲线、两条相交直线（退化的双曲线）等，其方程为：

对于某些二次曲线的问题，可用二次曲线系方程代定系数，然后通过所求的二次曲线的特定系数要求解出之。

对于二次曲线的一般方程，由圆系方程进一步可知：

结论：过两个二次曲线C1，C2的交点的二次曲线系可设为。

例1：（2012浙江）如图分别是双曲线的左右焦点，B是虚轴的端点，直线与C的两条渐近线分别交于PQ两点，线段PQ的垂直平分线与X轴交于点M，若，则C的离心率为 。

标准解答：线段PQ的垂直平分线为MN，，，

两条渐近线

由

PQ的中点N

令，则

又 即

由以上叙述可知使用将函数与两渐近线联立的方法过程繁琐需要联立两次，而且求中点时分母需通分，麻烦易错。以下运用曲线的方法求解：

构造曲线系得到：（上坐标同时满足）

设

通过对比可知利用曲线系的知识解题，不仅思路独特，计算也简单许多。在简化题目的同时也体现了更高层次的数学思想。

例2：已知椭圆C的方程，设动直线与定直线 分别交与两点，若与有且仅有一个公交点，试探究面积是否存在最小值？若存在，求出该值。若不存在，说明理由。

解： （联立得）

，

由例2可知此题若用分别联立的方法，过程相当繁琐，再与距离长度等结合就会形成很长的等式，容易出错，用曲线系的方法就易于解决。

上述两题，虽然计算复杂但还没有到无法解出的程度。但是以下的问题，不用曲线系的方法就几乎无法解出。

1两种二次曲线线性组合

例3：（2016武汉二调）设直线与椭圆交于AB两点，过AB的圆与椭圆交于另外两点CD，则直线CD的斜率为（-3）

解：设CD： AB：

，，可以设 ， 又可令

则

由于轨迹是圆，则 ∴

分析：以上题目如果使用将ABCD四点求出再用四点共圆的性质求解，难度可想而知，但用曲线系与圆相结合的方法问题就可迎刃而解。

例4：（2011全国高考节选）已知F过椭圆 与椭圆相交于AB两点，与椭圆交于两点，试证在同一圆上，并求圆的方程。

解：依题意

同理 故与互补

在同一圆上

以上虽然证明ABPQ在同一圆上，思路简单但极不易运算，且圆的方程不易求出，而曲线方程的应用使问题迎刃而解。

将联立：

由于此方程为圆

由以上可知用曲线系的性质不仅能使问题迎刃而解，甚至可以解出一些用常规方法无法解出的问题。

例5：如图所示，已知椭圆的左右端点分别为，过点的动直线与椭圆交于两点，直线与交于点，试问点是否恒在一条直线上，若是，求出这条直线方程，若不是，說明理由。

解：设动直线代入椭圆方程

设

则

则恒在直线上。

新解

由推得

得前系数 前系数

由上可知无论从简洁度上或思维方法上，用曲线系的方法解题更胜一筹。

归纳：曲线系分为同样类型函数的曲线系和不同类函数组成的曲线系，但加以利用都可以达到简化运算、清晰思维的作用，因此学会此类方法对我们是十分有益和重要的。