关于二次函数中面积倍数问题的解题思考

周国蓉　王杰　张静

【摘 要】重庆市数学中考压轴题加强了面积类问题的考察，本文对中考题二次函数中出现的面积倍数问题（面积相等、面积分割、面积翻倍问题）的解题方法进行了操作性总结。

【关键词】二次函数；面积相等问题；分割面积问题；面积倍数问题

中图分类号： G633.6 文献标识码： A 文章编号： 2095-2457（2018）23-0115-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.23.051

【Abstract】The examination of the mathematics test in Chongqing has strengthened the investigation of the area problem. This paper summarizes the problem solving method of the area multiple problem （area equal， area division， area doubling problem） appearing in the quadratic function of the middle test.

【Key words】Quadratic function； Area equality problem； Partition area problem； Area multiple problem

1 研究背景

在数学问题解决的研究中，几何问题总是受到格外的青睐，其主要原因就在于几何中的问题解决具有鲜明的个性、丰富的题型以及如万花筒般的解题方法与过程[1]，而面积问题是数学知识结构中的“联结点”， 常结合一次函数、反比例函数、二次函数、三角形全等及相似、四边形、圆等初中数学的核心内容来进行考查[2]。

近几年，重庆市中考題的压轴题主要是二次函数为背景，其第二小问先是解决面积类问题，求出抛物线上的某动点，接着利用该点来解决“将军饮马”类问题。通过对近十年重庆市中考题压轴题进行梳理，可以发现对面积类问题的考察主要三方面：面积的最值问题，面积的定值问题，面积的倍数关系问题。本文就重点讨论一类两个定点一个动点的三角形面积倍数问题。

2 方法总结

对于二次函数中两定一动的三角形面积倍数关系，本文主要从三方面来讨论：（1）面积相等问题。其题型主要两类，一类是以定直线为共同边，在抛物线上找点使得面积相等，解题方法主要有等积变形和定值法。二类是以动直线为共同边，在抛物线上找点使得面积相等。其解题方法主要是利用等积变形使得高相等。（2）分割面积问题，其解题方法主要是将面积比转化为线段比，通过“化斜为直”来解决。（3）面积倍数问题，其解题方法可以转化为面积定值解决。其具体过程如下表1：

3 例题精讲

例1面积相等问题

4 进一步思考

通过面积倍数问题的三种题型的归纳总结，我们不难发现，其主要是要树立数形结合、函数的数学思想，从而构建出关于面积的函数模型。顾泠沅曾提出几何可以为学生提供不同层次的合情推理的机会，它也常常被作为培养学生创造能力的有效途径。在教学中，更应该使几何摆脱以往的孤立性，让学生在解决任何数学问题时都尽可能地给出几何解释[1]。那如何提高几何的教学成效性，将是我们进一步思考的方向。

表1

【参考文献】

[1]顾泠沅.数学学习的心理基础与过程[M].上海教育出版社，2009.10.

[2]张美琴.初中数学面积问题的类型及解题策略[J].中学教学参考，2017.10.