二维声波高阶有限差分地震波场模拟

杨 飞 张建彬 巩 固

（1.山东科技大学 山东省沉积成矿作用与沉积矿产重点实验室，山东 青岛 266590；2.山东正元建设工程有限责任公司潍坊分公司，山东 潍坊 261021；3.山东煤田地质规划勘察研究院，山东 泰安 271000）

地震波场模拟即地震正演，由已知的模型物性参数（岩层密度、速度等），通过不同方法模拟地震波在该地质构造的传播规律，最终得到地震记录。从定义上讲，其模拟方法可以分为两大类：物理模拟和数值模拟[1]，然而由于物理模拟相当昂贵，所以研究者一般采用更加经济的数值模拟技术，其数值模拟方法又分为两类：射线追踪法和波动方程法[2]，其中波动方程（本文以声波方程[3]讲述）方法因其不仅保持了地震波的运动学特征，而且保持了动力学特征，在研究地震波场模拟时受到广大工作者的热衷，特别是在起伏地表的研究[4]过程中发挥了重要的作用。

目前有不少学者在地震波数值模拟方面做过研究工作，如侯爵（2014）、王祥春等（2007）研究起伏地表下的地震波场数值模拟问题，侯爵等人从地震波场与地震波走时场两方面总结了该领域的研究进展。王祥春等通过研究波形、能量、频谱等方面的结果，得出起伏地表对地震波场的动力学特征有很大影响。首皓等（2009）分析复杂介质的地震波场模拟单程波方法，通过结合频率-波数域反射系数近似公式和相移加插值的方法改进单程波，结果可以准确地模拟振幅随入射角的变化，与双程波的精度相当。虽然在地震波数值模拟方面有不少学者做了大量研究，二维波场研究的成果较多，但三维波场模拟成果还相对较少，而且在探索高阶次的波动方程方面还存在较大差距，本文在前人工作的基础上，分析二维声波高阶有限差分地震波场的模拟问题，利用有限差分原理，建立高阶有限差分地震波场模型，研究结果对地震波场模拟有一定的推动作用。

有限差分法具有计算速度快、占用内存小等优点，该方法对于近远场及复杂边界都有广泛的适用性，能够准确地模拟波在各种介质及复杂结构地层中的传播规律。有限差分法方法简单、高效的优点是其他方法难以比拟的，因此有限差分法目前仍然是勘探地震学中应用最广泛的数值计算方法[5]。

1 有限差分法的基本原理

有限差分法是一种最常用的数值模拟方法，它的基本思想是用离散的、只含有限个未知数的差分方程去近似地代替连续的微分方程及边界条件，并且把相应的差分方程的解作为微分方程的近似解。而对于二维速度-深度模型，地下介质中地震波的传播规律可以近似地用声波方程描述：

式中：

v(x,z)-质点在(x,z)处的纵波速度，m/s；μ-描述速度位或者压力的波场；

s(t) -震源函数。

式中：

Δh-空间离散步长，m；

Δt-时间采样率，s；

δ-确定震源位置。

由公式可知，要想得到声波方程的有限差分形式，需要的已知条件包括：

（1）震源函数：一般使用一个理论上的雷克子波代替；

（2）地层速度或密度；

（3）边界条件：采用已被证明的有条件稳定格式，即：

2 建立空间网格

有限差分方程实现的第一步：在选定的空间内进行空间网格划分，将实际的地层进行数据离散化。其特点是相对灵活，能够较好地适应地下介质的剧烈变化，对于复杂程度较高的地质模型[6]其运算速度也不会受到太大影响。但在实际应用时通常遵循误差最小原则，网格划分的方法有多种，不同的网格形式针对不同的地层特征，而且声波和弹性波的网格形式也有不同，弹性波的网格形式有：交错网格、辅助网格以及旋转交错网格、同位网格[7]等。本次研究高阶有限差分法采用的网格划分方式为（图1）：

图1 空间四阶精度差分网格示意

从图1中可以直观地看出：空间中离散点的分布，相邻离散点之间的距离为步长，即Δh。其中Δh与Δz、Δx之间的关系如下：

3 理论模型及应用效果分析

由于实际工作中，地质条件相当复杂，存在着介质横向不连续，岩性岩相差异较大，各项异性明显等问题，并且地震波在地下的传播存在吸收衰减等现象，规律复杂。基于此特征，本次研究建立一套层状均匀介质地质模型（图2）进行理论分析，通过对模型的研究来获取有关的地震地质信息。层状均匀介质地质模型较简单，模型的正演耗时较小。

图2 层状均匀地质

建立地质模型的速度、密度、弹性等参数，模拟地震波在地质模型中的传播规律，得到地震波场特征（图3），得出震源点处的单道地震记录（图4）。通过地震波长的模拟，可以验证野外采集时设计方案的合理性，室内处理和解释成果的可靠程度，甚至是反演方法和最终结果的正确性。

图3 某时刻的地震波场

图4 震源点的单道记录

如图2所示的层状均匀介质地质模型，模型网格大小为500×500，网格间距为1m，采样时间间距为100μs，震源坐标为（250m，10m）。采用有限差分交错网格进行计算，计算精度为O（Δt^2+Δh^10）。图3为层状均匀介质地质模型波前快照图，从图中可以看到地质界面和层状均匀介质界面都有很好的显示，基本没有频散现象。

4 结论

本文采用二维高阶有限差分方法的基本原理，建立了空间网络模型，并通过建立层状均匀介质地质模型，模拟地震波场的传播过程，得到震源点处的地震记录。

有限差分方法具有计算速度快，占用的内存小等优点。本次研究通过地震波长的模拟结果，可以验证野外采集时设计方案的合理性，室内处理和解释成果的可靠程度，以及反演方法和最终结果的判断。