高中数学中有关直线和圆的两解问题

李生波

【摘要】在高中数学学习过程中，直线与圆的两解问题是一种重要类型题.本文将结合笔者自身的学习经验，探讨直线和圆问题的一般解法，着重分析直线和圆的两解问题，结合几道例题，对其求解过程进行具体研究.

【关键词】高中数学学习；直线和圆；两解问题

直线和圆的两解问题是高中数学中的一类重要问题，也是我们在考试中容易出现错误的题目.在解答直线和圆的两解问题时，要注意答题方法和答题策略的选择，在解题过程中进行全方位的思考，并对解题过程进行检查，从而减少失误.针对直线和圆两解问题的重要性，有必要在平时的学习过程中提高重视，注意总结解题经验，促进解题准确率的逐步提高.

一、高中数学中直线和圆问题的一般解法

直线和圆是高中解析几何的重点知识内容，以客观题的形式出现较多，需要我们在掌握基础知识点的基础上，灵活运用各种解题思维和解题方法，从而快速、准确地得出正确答案.在求解直线和圆的问题时，应用的基本概念公式主要包括直线斜率、直线点斜式方程、直线位置关系、圆的方程以及直线与圆、圆与圆的位置关系等.在牢固掌握这些基本概念性质的同时，还要掌握利用直线和圆的几何性质进行求解的方法，此外代数思想、分类讨论思想和构造法等，也在直线和圆的问题求解过程中有重要应用.下面以一道例题为例，对直线和圆问题的一般解法进行具体说明.

例1 已知圆C的方程为（x-3）2+（y-5）2=5，过圆心C作直线l与圆C相交于点A和点B，与y轴相交于点P.如果点A是线段BP的中点，求解直线l的方程.

在求解过程中，分别设点A和点B的坐标，即A（x1，y1），B（x2，y2），根据题意，A为PB中点，则x2=2x1，设直线方程为y-5=k（x-3），令x=0，可以得到y=5-3k，即P（0，5-3k），与圆的方程联立，消y后可以得到（1+k2）x2-6（1+k2）x+9k2+4=0.根据根与系数的关系，有x1+x2=6，x1x2=9k2+41+k2，由此可以求解出x1=2，x2=4，x1x2=8，因此k=±2，直线l的方程为y=2x-1或y=-2x+11.

二、高中数学中直线与圆的两解问题分析

（一）利用直线性质进行求解

高中数学中的直线和圆是几何知识中的重要组成部分，包含大量的概念、性质，对其基本性质的应用，往往是求解问题的关键.因此，我们在平时的学习过程中，应深入理解直线和圆的性质的推导过程，对其进行深刻记忆，避免在做题过程中，出现概念混淆，或性质条件考虑不周的情况.下面以一道例题为例，对直线性质的应用进行说明.

例2 求解过点（-2，2），在x轴上截距是y轴上截距2倍的直线方程.

在求解该题时，首先要明确一点，0是0的任意倍，如果忽略这种情况，就会导致漏解.

在求解过程中，分别设直线在x轴、y轴上的截距为a和b，根据题意有a=2b，然后对其进行分类讨论.在a=2b=0的情况下，设直线方程为y=kx，将点（-2，2）代入后可以得出k=-1，直线方程为y=-x.另一种情况为a=2b≠0，设直线方程为xa+yb=1，将点（-2，2）代入后可以得到a=2，b=1，因此直线方程为x+2y-2=0，因此此题有两解，即直线方程为y=-x或x+2y-2=0.

如果没有考虑a=2b=0的情况，则会出现漏解，因此，在做题过程中，应对此类题目加以重视，在应用直线性质定理的同时进行全方面考虑，避免出现错误.

（二）利用圆的性质进行求解

利用圆的几何性质进行求解道理类似，应对一些问题进行分类讨论，下面以一道例题为例进行说明.

例3 直线l经过点（-4，0），且与圆C相交于A，B两点，|AB|=8.已知圆C的方程为（x+1）2+（y-2）2=25，求解直线l的方程.

在求解此题时需要注意的问题是应对直线斜率是否存在进行探讨，然后再利用圆的几何性质进行求解.若直线l斜率存在，可以解出方程为5x+12y+20=0，若直线斜率不存在，则方程为x+4=0.

（三）利用构造法求解

构造法是求解直线和圆两解问题的重要方法，可以使一些看似复杂的问题得到简化，并利用相关的概念性质，快速解出答案.以一道例题为例，对构造法的应用进行具体说明.

例4 圆O的方程为x2+y2=1，过点P（2，0）分别作圆O的两条切线，与圆O相切于A，B两点，求弦长|AB|.

利用构造法求解此题，构造一个以OP为直径的圆方程，与圆O相减，即可得到公共弦方程，进而利用勾股定理求出弦长.构造的圆方程为（x-1）2+y2=1，最后结果为3.

三、结束语

综上所述，直线和圆的两解问题是高中数学中的易错题目，在牢固掌握基本概念定理的基础上，灵活运用各种解题方法，可以帮助我们提高做题准确率，避免出现丢解、漏解的情况.通过对直线和圆两解问题求解方法的分析，可以總结解题经验，帮助我们提高解题能力.

【参考文献】

[1]林奇.高中数学中有关直线和圆的两解问题[J].新课程，2012（12）：102.