小学数学教师应对学生退位减法计算错误的研究

孙诚诚 曹荣荣

【摘要】小学生在应用两位数退位减法过程中会出现各种各样的错误，因此，教师处理学生计算中出现的错误就显得格外重要.文章运用问卷调查和访谈法比较了小学数学专家教师和职初教师在处理学生计算错误时的不同，并利用知识维度分类理论分析了专家教师和职初教师对于两位数减法算理的理解程度，最后给出了一些教学建议.

【关键词】退位减法；概念性知识；过程性知识；位值制

一、引 言

在数学计算过程中，由于小学生思维发展的不成熟，往往会导致他们在进行数学计算时出现各种错误[1].建构主义学者认为，学生的学习是根据已有的经验和知识，主动建构新知识的过程，也正是在建构的过程中会发生某些错误[2]～[3].因此，能够发现学生的错误，并且分析出学生错误的原因，对于教师的教学过程有着重要意义.

教师的专业技能之一就是正确地分析学生的计算错误.好的教学通常要求教师在看到学生错误的瞬间就快速地分析出学生出错的原因，并用适当的措施进行纠正[4].Even和Tirosh的研究指出，教师面对学生的错误时，不仅要有关于错误存在的知识，更要有关于这些错误为什么存在的知识[5].Ball曾在研究中列举过一个退位减法计算错误的案例：37-18=21[6]，从教师的角度来看，不仅要快速地看出答案错误，更重要的是通过这个错误答案分析学生出错的原因，继而采取合适的措施帮助学生解决这个错误.

二、研究过程

（一）研究对象

研究对象选取的是一线的小学数学教师，包括职初教师和专家教师两类.每类教师各选择20人，选择标准如下：（1）职初教师选取的是刚刚踏上工作岗位的师范毕业生和教龄在3年以下（含3年）的年轻教师.（2）专家教师则选取的是从事一线教育工作8年～10年，甚至是教龄达10年以上的优秀教师，如省特级教师、青年骨干教师等.

（二）研究工具

研究工具是向教师提供任务情境，对两类教师进行问卷调查，初步了解其对数学知识和教材的掌握情况，再通过实地访谈深入探究专家和职初教师所掌握的知识程度.

任务情境是两位数退位减法的竖式计算，两位数退位减法在小學减法计算过程中占据着“承上启下”的重要地位.因此，教师要引导学生掌握减法竖式计算的算理，并能够在学生学习过程中及时纠正错误.任务情境如下：

“有些教师发现，有的学生在进行两位数减法时经常会出现以下的问题，同时你也注意到学生在做题时也会发生这样的错误，你要如何来纠正学生出的错呢？”

（三）数据收集

研究采用质性分析方法收集数据.数据的收集共分为两个步骤：首先，到青岛市即墨街道小学里收集学生在学习两位数减法时的错题，并根据学生出现的错误选出典型范例，列出上面的任务情境.其次，让接受调查的两类教师对假定任务情境的问题做出书面回答，同时对他们进行访谈，探究他们的真实想法，深入了解他们会怎样纠正学生出现的计算错误.

三、研究结果与分析

（一）错误分析

根据收集的数据来看，专家教师和职初教师给出的错因一共有两种情况：一种是本质错因，另一种是表面错因.具体情况如图1所示：我们可以清楚地看出专家教师对于学生错因的解释以本质错因为主，而职初教师对于错因的解释更偏重于表面错因.

专家教师和职初教师对错因解释情况

1.本质错因

通过数据发现大部分的专家教师和少数职初教师都认为学生计算出错的主要原因是没有弄清楚减法的算理.而通过继续访谈调查发现，专家教师口中的算理与职初教师理解的算理亦有着很大的差距.

（1）专家教师：“了如指掌”

专家教师利用位值的概念对减法算理进行了解释，他们认为学生的计算离不开对位值的理解.在计算过程中，每一个数字所在的位置不同，数字所代表的含义就不一样，学生的头脑中对此必须有明确的把握.从专家教师的解释中可以看出，专家教师对学生错误进行分析时是从位值概念的理解来分析.他们认为，学生要想理解算理，对位值的掌握是基础工作.

（2）职初教师：“一知半解”

20位职初教师当中只有2位教师正确地解释了两位数减法的算理，而这两位教师能给出正确解释的原因是她们参加、学习过专家教师的公开课，所以对两位数减法的算理才有较深刻的认识和理解.其余18位职初教师对于两位数减法算理的理解是不透彻的，他们认为计算过程就是算理，只是在向学生说明怎么计算，而为什么要这样计算则没有说明.访谈过程中，有部分职初教师认为，计算就是熟能生巧，练得多了，学生自然也就会了.

2.表面错因

在研究对象中，4%的专家教师和96%的职初教师都将学生的计算错误停留在表面上，我们可以认定大部分的职初教师尚不具备良好的分析错因的能力.而专家教师对于表面错因的解释也与职初教师不尽相同.

（1）专家教师：结合“本质”分析“现象”

虽然4%的专家教师也给出了表面错因的解释，但是这些专家教师都是将表面错因与深层错因结合起来说明的.我们可以看出专家教师对于学生的计算错误，是从自己的课堂教学出发，认为学生出错的原因是多种多样的，从而可以根据学生的错误进行多方面综合分析.

（2）职初教师：无法找到错误“根源”

96%的职初教师都只是简单地对学生错误进行了表面分析，而没有找到学生出错的根源.调查发现职初教师对于数学学科知识的理解缺乏深度，缺乏对学生计算错误进行分析、归纳的能力，因而，不能从数学专业的角度寻找学生出现计算错误的原因.

（二）纠正措施

学习过程并不仅仅是知识的简单相加，从整体上来看，学习是一个顺应的过程[7].因此，教师对学生错误的纠正在教学当中意义深远.通过之前的分析，可以发现专家教师以及职初教师对于两位数减法的理解和掌握情况有着一定的差异，这也造成了专家教师和职初教师在纠正策略上的差异.

1.专家教师：多种途径纠正错误

（1）重组策略

在纠正学生计算错误时，重组策略是大多数专家教师都会选择的一种策略.专家教师普遍认为重组策略是较为基础的策略，因为这是建立在学生已经学过20以内的口算减法的基础上，可以使学生对这种方法产生共鸣，极易运用已有的知识进行迁移[8].

（2）利用辅助性学具

访谈中发现，部分专家教师在对学生错误进行纠正时，不约而同地选择了小棒进行讲解，他们认为，摆小棒的过程能够很好地体现退位减法的基本算理.可见，专家教师能够找到更为形象、直观的纠正措施来帮助学生解惑.

（3）类比加法原理

访谈过程中，不少专家教师都提出可以利用减法是加法的逆运算这一事实，通过加法的算法原理类比到减法的算法原理，以帮助学生更好的理解.可以看出专家教师对于各知识之间的联系都有一个深刻的认识.

2.职初教师：纠正方法较为单一

职初教师在纠正学生错误时，想到的纠正策略往往是比较“单薄”的，对于错误的纠正缺乏针对性，不能从专业的数学角度帮助学生分析及纠正错误.20名职初教师中有16位教师给出的纠正措施都不是从数学专业的角度来说明的.从深入访谈中，可以发现职初教师对于学生在两位数减法时出现的计算错误，解决的方法大体上保持一致：都是让同学自己一遍一遍地改正，然后一遍一遍地练习，直到不再出错为止.由此可见，职初教师纠正措施的选择很大程度上受到其错误归因的影响.

（三）研究结论

马立平老师曾经在对比中美教师重组数字做减法的研究中，提出教师对于减法知识的模型包括概念性理解和过程性理解[9].在访谈过程中，通过与两类教师进行深入交流，同样发现两类教师存在着概念性知识和过程性知识.研究表明大部分专家教师属于概念性知识，在教学过程中能够清楚地说出两位数减法的算理.例如，有些教师在列竖式计算时，会通过加法的“满十进一”类比出减法的“退一当十”，同时会引入进率，为后续的学习做铺垫.而对减法只有过程性知识的职初教师，在教学过程中往往更加强调计算过程.比如，在遇到需要進行退位的减法计算时，只具有过程性的教师往往会给出如下解释：当我们遇到个位不够减的情况时，我们通常需要向十位借一个1变成10，加到个位上再减.而这种说法在数学上其实是不严谨的.

四、教学建议

（一）教师要充分理解数学知识的本质

好的教师需要拥有丰富的学科知识，有学科知识的支撑，教师的教学能力势必有所欠缺.在退位减法中，最重要的学科知识就是位值制.教师只有自己对位值制有深刻的理解，才有可能在教学过程中将“数字在不同的位置上代表不同的含义”这一思想传达给学生.

（二）教师要有丰富的学科知识概念图

教师应对知识内容有一个完整的概念体系，专家教师更加注重数学知识各部分之间的联系.在讲课的过程中，专家教师能够从多方面来帮助学生理解并建构新知识，而职初教师认为两位数减法的学习只要弄明白运算过程，并在运算过程中保证数位对齐即可.

（三）教学要恰当选择形象化工具

小学数学教师在教学过程中可以借助恰当的形象化工具，以顺应小学生的直观形象思维.当然，并不是所有的学具都会对学生理解学科内容有一定的帮助，专家教师则大多选用摆小棒的方式来帮助学生理解位值变换.因此，职初教师既要增强使用形象化工具的意识，同时还要提高选择形象化工具的能力.

（四）教师要树立正确合理的教学观

不同的教学观对教师的教学风格有着重大影响[10].调查发现专家教师往往注重引导学生主动探索知识.职初教师在教学过程中所起到的作用大多是“搬运作用”，只是对书本知识的简单重述.这两种截然不同的教学观，对于学生能力的培养也是不同的.因此，教师一定要形成正确的教学观.

【参考文献】

[1]范士青，刘华山.小学三年级学生整数减法计算错误的认知分析[J].教育研究与实验，2015（5）：82-88.

[2]黄加阳.数学学习心理研究概述[J].闽西职业技术学院学报，2016（2）：100-104.

[3]钱丽谈.社会建构主义观下算法教学——谈算法的“多样化”与“优化”[J].2006，17（2）：16-18.

[4]孙兴华，马云鹏.小学数学教师如何处理学生计算错误的研究—以两位数乘两位数为例[J].数学教育学报，2016（5）：38-44.

[5]Even R，Tirosh D.Subject-Matter Knowledge about Students as Sources of Teacher Presentations of the SubjectMatter[J].Educational Studies in Mathematics，1995，29（1）：1-20.

[6]Ball D L，Thames M H，Phelps G.Content Knowledge for Teaching：What Makes It Special[J].Journal of Teacher Education，2008（5）：389-407.

[7]王蕾.小学低年段数学计算错误的归因分析[J].读与写（教育教学刊），2014（3）：217.

[8]刘丽琴.四年级学生数学计算典型错误及教学溯源[J].教学与管理，2017（20）：51-52.

[9]马立平.小学数学的掌握和教学[M].上海：华东师范大学出版社，2011.

[10]陈六一.小学生数学学习差距研究—教师视角：以中美教师对退位减法的认识为例[J].中小学教师培训，2014（10）：61-64.