大气湍流中涡旋电波传输的螺旋谱特性*

张华杰，赵恒凯

1 引言

无线通信技术迅速更迭，微波、毫米波段的电磁波作为无线通信的主要载体，可用的频谱资源十分有限，而高的通信速率必然在一定程度上需要占用更多的带宽。为了提高频谱利用率，进而提高通信效率，满足对无线通信更高速的需求，携带有轨道角动量（OAM, Orbital Angular Momentum）的涡旋电磁波通信系统得到了极大关注。

在无线通信领域，B Thidé等人于2007年结合带有轨道角动量的涡旋光束，提出电磁涡旋，理论上可利用OAM相互正交的模式态来提高无线通信系统的容量和效率[1]。2010年，Mohammadi等人使用相控阵列天线产生了携带OAM的电磁波束[2]，此后出现了反射面反射[3]、波导谐振天线[4-5]等产生OAM电磁波束的方法。2012年，Tamburini等人实现了两个电磁波以不同的OAM态在同一频率下的传输，通过实验验证了OAM用于无线通信的可行性[6]。轨道角动量有望成为无线通信领域时、频、空、码复用后的新的复用维度，对于提高无线通信系统效率有非常重要的意义。

湍流是由大气环境中空气密度的无规则起伏引起的流体现象，大气中分布着参数各异的湍流。无线电波在大气环境中传播时会受湍流影响而产生多种湍流效应[7]，包括闪烁、相位起伏、螺旋谱弥散等。螺旋谱弥散在减少有用信号能量的同时可能会引入串扰，影响通信质量。目前，无线通信领域对涡旋电磁波的研究主要集中在其获取方法上[8-9]，对其传输特性涉及较少，因此，研究大气湍流对涡旋电波的轨道角动量特性的影响对于OAM通信系统的应用具有重要意义。

2 涡旋电磁波基本理论

轨道角动量是描述涡旋电波能量横线旋转特性的空间坐标维度，方向垂直于电磁波传播方向，轨道角动量量子数（也称拓扑荷）可取任意整数。当径向指数相同时，拓扑荷不同的涡旋波束满足正交性条件，利用该特性将OAM作为新的复用维度进行复用时系统传输速率可达2.56 Tbit/s的Tbit数量级，频带利用率可达95.5 bit/(s.Hz)[10-12]，相比于LTE通信326.4 Mbit/s的传输速率和16.32 bit/(s.Hz)的频带利用率，有极大的提升，因此OAM应用于无线通信时能够显著提高通信效率。

生成涡旋电磁波的基本原理是普通电磁波叠加一个与空间相位角相关的相位旋转因子eisθ，可表示为：

式(1)中，A(r)表示普通电磁波，r代表到电磁波中心轴线的辐射距离，θ表示空间相位角，s表示轨道角动量的拓扑荷，当s为0时即为普通电磁波。涡旋电磁波的波前不再是平面结构，而是围绕传播轴方向呈螺旋波前结构。如图1所示，不同拓扑荷的涡旋电波具有不同的空间分布，拓扑荷s决定了相邻两个波前之间的相位从0到2π的变化次数，且该变化次数的值与s相等。

拉盖尔-高斯（LG, Laguerre-Gaussian）波束是最经典的涡旋波束[13]，具有沿传播轴中心相位不定、幅值为零的电场分布特点，这些点称为相位奇点，如图1所示：

图1 拓扑荷s=4的涡旋电波波前强度和相位分布

LG波束电场的柱坐标表达式为：

3 大气湍流相位屏模型

大气湍流以随机产生的多个相位屏来表示[14]。相位屏位于垂直于传播轴的平面，可用N×N维复数矩阵表示，其随机分布的方差取决于大气折射率波动频谱，表示大气湍流折射率波动的随机复域值，各个相位屏之间视为真空传播。大气折射率波动频谱有多种表示形式，最常见的是Kolmogorov大气折射率波动频谱[15]，其表达式为：

根据折射率波动频谱获得相位频谱：

进而求得相位屏相位频谱的方差为：

其中，△Z为Z轴方向两个相位屏的间距，△x是栅格距离。通过快速傅里叶变换得到随机相位屏为：

其中，FFT表示快速傅里叶变换，参数C是一个均值为0、方差为1的N×N维复数随机矩阵。

4 涡旋电波在大气湍流中传输的螺旋谱特性

LG涡旋电波u0(r,θ,z)在以相位屏为模型的大气湍流中传输时，传输过程分为两部分[16]，第一部分是涡旋电波直接受到大气湍流影响产生附加相位，在柱坐标体系下，可以表示为：

其中，ψ(r,θ,z)表示一个相位屏引起的附加相位，u(r,θ,z)表示经过相位屏后的涡旋波束。

第二部分是两个相位屏之间的真空传播产生的附加相位，取决于波长和相位屏间距。涡旋电波u(r,θ,z)经过真空传播到下一个相位屏前的电场为u(r,θ,z')，z'为下一个相位屏的位置。首先对u(r,θ,z)进行傅里叶变换得到频域电场ψ(K,z)，然后叠加真空相位附加因子得到在下一个相位屏前的频域电场ψ(K,z')，再通过傅里叶逆变换得到空间电场u(r,θ,z)，过程如下：

涡旋电波依次通过一个大气湍流相位屏和距离为△Z的真空传播，根据相位屏所设参数循环进行，不断叠加新的附加相位，直至到达接收端，本文以此为理论基础模拟产生大气湍流相位屏模型并进行仿真。

为了分析轨道角动量的组成，将涡旋波束展开成其螺旋谐波函数exp(imθ)的线性叠加，其中m表示各谐波分量的拓扑荷数，m=s的分量即为有用信号，以此便得到轨道角动量谱，也称为螺旋谱[17]。

图2是当p=0、s=4时涡旋电波在无湍流影响和受湍流影响时的螺旋谱分布，横轴为m，纵坐标P为各分量对应的归一化能量。可知，涡旋电波受湍流影响会产生螺旋谱弥散，即在原拓扑荷前后出现了新的拓扑荷分量，并削弱了有用信号的能量。同时，OAM复用时，螺旋谱弥散现象会在s取值接近的信号中引入串扰，相当于引入了噪声干扰，影响通信系统信噪比和误码率等，直接对通信质量造成负面影响。因此，研究各参数对涡旋电波螺旋谱特性的影响有利于更好地把握OAM复用通信系统质量。

为了量化表示螺旋谱的弥散程度，引入Zambrini等人定义的无量纲方差[18]，其定义为：

式(14)中，m表示螺旋谱拓扑荷的平均值，在无干扰的理想情况下，V=0；当涡旋电波出现螺旋谱弥散时，V值大于0，且V值大小与弥散程度呈正相关。

5 仿真分析

按照式(2)、式(3)和式(6)，结合无线通信传输介质特点，选取涡旋电波参量的初始值为：λ=0.01 m、s=4、p=0、ω0=0.3 m。选取传输介质参量的初始值为：=5×10-16m-2/3、L0=100 m、l0=0.001 m，传输距离Z=5 000m。相位屏模型取值为：N=400，△x=0.000 25 m，△Z=100 m，即在5 000 m距离内设置50个随机相位屏。

图2 涡旋电波螺旋谱

根据以上参数仿真得出涡旋电波在大气湍流中传输的螺旋谱的各分量随传输距离Z的变化，如图3所示，涡旋电波受大气湍流影响出现螺旋谱弥散，产生了新的拓扑荷分量，且m=s±n的OAM谐波分量大小始终保持基本相同。随着传输距离的增加，螺旋谱弥散程度变大，有用信号的损失也就越大，同时会对拓扑荷相近的信号引入噪声干扰，影响通信质量。

图4是部分参量不同取值情况下，无量纲方差V随传输距离Z的变化特性，可知，V值会随着传输距离的增加而增大，且波长、拓扑荷和大气湍流折射率结构常数等参量的取值会影响V的大小，即V随波长的增大而减小，随拓扑荷的增大和大气湍流折射率结构常数的增大而增大。

图5是当传输距离为5 000 m时不同拓扑荷s下无量纲方差V与波长λ的变化关系，可知，涡旋电波螺旋谱V的大小会随着λ的增加而减小，且减小的程度随λ增大而降低；同时，s增大时V也会增大，且存在V值逐渐趋于稳定的趋势。

图6是当传输距离为5 000 m时不同折射率结构常数C2n下无量纲方差V与拓扑荷s取值的变化关系，在s较小的范围内，V的值随着s取值的增大而迅速增大，但当s增大至25左右时，V的值迅速趋于稳定，且当s继续增大时，V的大小基本保持不变。说明当拓扑荷增大到一定值后，涡旋电波的螺旋谱弥散现象趋于稳定，不再受拓扑荷取值的影响，折射率结构常数的大小会影响无量纲方差的稳定值，且折射率结构常数越大，无量纲方差的稳定值越大。

图7是当传输距离为5 000 m时不同湍流内尺度l0下无量纲方差V与折射率结构常数的变化关系，当增大时，V也随之增大，且越大，V增大的越快。可知，涡旋电波螺旋谱弥散现象易受到大气湍流强度的影响。同时，l0的变化对V值影响比较有限。经过仿真验证，外尺度L0同样对涡旋电波螺旋谱的V值影响较小，因此，在一定条件下可以忽略大气湍流内尺度和外尺度对涡旋电波螺旋谱弥散现象的影响。

图3 螺旋谱的各分量随传输距离Z的变化

图4 无量纲方差V随传输距离Z的变化

图5 不同拓扑荷s下V随λ的变化

图6 不同折射率结构常数下V随s的变化

图8 是在束腰半径ω0不同取值下涡旋电波螺旋谱的无量纲方差V随传输距离Z的变化关系，ω0较大时，V值也较大，但变化较小，在一定程度上可以忽略。经仿真验证，径向指数p对涡旋电波螺旋谱的影响也比较微弱。

6 结束语

图7 不同内尺度l0下V随的变化

图8 不同束腰半径ω0下V随Z的变化

本文利用涡旋电磁波基本理论和大气湍流相位屏模型仿真，分析了无线通信领域大气湍流对涡旋电波轨道角动量特性的影响。通过改变涡旋电波的波长λ、拓扑荷s、径向指数p和束腰半径ω0，分析其自身参量对其螺旋谱特性的影响。同时，通过改变传输介质的大气湍流折射率结构常数C2n、湍流外尺度L0、湍流内尺度l0和传输距离Z，分析传输介质参量对涡旋电波螺旋谱特性的影响。结果表明，随着传输距离的增加以及大气湍流折射率结构常数的增大，涡旋电波螺旋谱的弥散程度增大；随着波长的增大，螺旋谱弥散程度减小；随着拓扑荷的增大，螺旋谱弥散程度先迅速增大，当拓扑荷达到25以上时，螺旋谱弥散基本保持稳定。同时，涡旋电波的径向指数和束腰半径、大气湍流的外尺度和内尺度对涡旋电波的螺旋谱特性影响较小，在一定条件下可以忽略。以上结论对涡旋电波在无线通信领域的研究和应用有重要的意义，同时，如何降低各因素对涡旋电波轨道角动量特性的影响将是接下来研究的重点。