审美视域下的数学教学

江苏无锡市蠡园中心小学 嵇宪长

说起数学，给人的第一印象就是诸多的概念、性质、公式、原理和定理，它们组织交织在一起构成一个严密、严谨、庞大的体系。人们为了进入这个体系，进而理解和运用这个体系内的各个要素，就得花大量的时间去记忆、练习和应用，这样才能基本理解和体会这门学科高度的抽象性、严密的逻辑性和广泛的应用性。

审美视域下的数学教学，正是为了打破数学给人的枯燥、呆板、机械的一贯印象，从美的视角出发，带领学生重新观察、思考、审视数学，让学生能够从杂乱的现象中看到有序，从抽象的思维运作中体会严谨，从符号化的数学表达中感悟简洁，进而领会到数学世界中有很多美的要素，数学本身就是一种独特的美。

正如“世界上并不是缺少美，只是缺少发现美的眼睛”这句格言说的那样，数学的美从来就不是一句空话。从数学的起源来说，建筑艺术是数学的源头，正是对建筑艺术中美的追求，才产生了数学。可以说，数学从一开始就“挟美”而生。只不过，它在以一种独特的方式阐释美学。要想领略它，需要一种眼光，一种心境，一种智慧。

正是在这个意义上，英国著名数理逻辑学家罗素深刻地道明了数学的美是这样一种独特的形态:数学,如果正常地看它,不但拥有真理,而且也具有至高的美,正如雕塑的美,是一种冷而严肃的美。我国著名数学家徐利治教授这样形象地描述数学中美的现象：数学园地处处开放着美丽花朵，它是一片灿烂夺目的花果园,这片花果园正是按照美的追求开拓出来的。

从这些古今中外数学大家们关于数学美的著名论断可以确信：数学中的美的确无所不在。只是这样的“美”要通过什么样的形式和方式才能落实到日常的教学活动中，让学生能有所体会、有所感悟，进而改善学生对数学的认识，改进学生对数学的态度，这是一个很值得思索和实践的话题。

一、由形至美

笔者以为，这是数学美的最低层次，它更多地指向一种“形式美”。

这种形式美首先表现为由数学对象的外形方面刺激学生视觉而引发的感受，学生能够真真切切地看到对象的对称性、和谐性或稳定性等特性，并以此产生一种美好的感觉。然后在这种感觉的激发和驱动下，积极主动地去深入探究其内在机理，逐渐完成由外形感悟走向内涵理解并对数学美有所领悟。

笼统地说，数学的研究对象分为两类：一类是数、数量及其结构和变化，一类是空间形式及其空间模型中的概念、性质、公式和定理。在这两类对象中，都较为丰富地体现数学“形式美”的素材和内容。

例如，“回文数”就是第一类中的一个典型内容，教学过程中可以相机引入这个内容。首先可以向学生直接介绍“回文数”这一概念，让学生在利用自己语言的基础上从字面意义上揣摩它的含义，并列举出一些“回文数”12321、246642等供学生观察、品味，感受回文数对称、和谐、稳定等美的特性。在此基础上，再引入一些跟“回文数”相关的有趣的数学现象，让学生进一步感受“回文数”的特性，加深对其美的特性的把握。如1的平方=1,11的平方=121,111的平方=12321,1111的平方=1234321……；再如学生如执行以下算法，就可进入“回文数黑洞”：任意写一个数，然后把这个数倒过来得到第二个数，把这两个数相加得到一个和；再把这个和数倒过来，与前面得到的和再相加，得到第二个和。就按照这样的规则一直进行下去，就会发现每一步的和都是“回文数”。

二、由奇至美

这是数学美的第二个层次，它更多地指向“内容美”。

如果说，上面的“由形至美”重在感官享受的话，那么这里的“由奇至美”则偏向思维享受。奇异的现象往往能激发起学生一探究竟的“猜谜”欲望，促使他们不由自主地全身心投入到探究过程中，为揭开笼罩在表面的面纱、解开弥漫在心中的谜团而乐此不疲地付出努力。当然，也正因为他们倾其所有、沉醉其中，迷雾散去的一刻，由成功感、满足感、惊异感所催发出来的美感也会深深地震撼他们。

例如，在学生学完“用字母表示数”和“代数式化简”后，可以引入在网络中流传很广的一道年龄趣题：请你先想一个数，然后用这个数乘2加5，再用得数乘50，再加上1768，用得到的结果减去你的出生年份，得到最终的结果，你会发现这个最终结果中的末两位就是你的年龄，前面的数就是你一开始设想的数。在学生读完题明白意思和程序后，头脑中立即出现“真的是这样”的疑问，并迫不及待地“我要试一试”，而投入到紧张的试算过程中。经过几次试算，证实情况皆如题目所述，这时学生的思维会不由自主地转入到现象背后原因的探究中：“这道题目的奥秘何在？”“为什么会出现这种现象？”此类问题此时就像磁石一样紧紧地吸引着学生，让学生欲罢不能。教师可以趁机让学生用刚刚学过的知识尝试解决这个问题。先按照题目的意思得到一个代数式：（a×2＋5）×50+1768－出生年份，再把这个代数式逐步化简，最终得到a×100+（2018－出生年份），从而可以发现：后面括号里的数正是你的年龄，它们是结果的后两位数，而前面的数字也正是你一开始设定的数。数学的奇异美也在这一刻于学生的头脑中悄然绽放。

三、由质至美

这可以说是数学美的最高层次，属于“文化美”的境界。要想让学生真正体验到数学美，就必须带领学生到达这一层次。

著名数学家华罗庚称之为数学的“内在美”：“就数学本身而言，是壮丽多彩、千姿百态、引人入胜的……认为数学枯燥乏味的人，只是看到了数学的严谨性，而没有体会出数学的内在美。”那么，如何才能使学生在看到数学的严谨性之外，体会到数学的内在美呢？

数学的内在美主要是由数学的本质决定的。要想让学生领悟数学的内在美，教师就需要让学生更深刻地理解数学知识的本质，透过现象看实质。通过个体想整体，联结散点成网络，这样帮助提炼思考方法，感悟数学思想，积累活动经验，从而更好地促进学生体会数学的内在美。比如，让学生练习列方程解决如下实际问题：1.客、货两车分别从相距576千米甲、乙两地同时出发，相向而行，已知客车每小时行驶100千米，货车每小时行驶92千米，两车经过几小时相遇？2.客、货两车分别从相距576千米甲、乙两地同时出发，相向而行，经过3小时两车相遇，已知客车每小时行驶100千米，货车每小时行驶多少千米？3.客、货两车分别从相距576千米甲、乙两地出发，相向而行，已知客车每小时行驶100千米，货车每小时行驶92千米。在客车先出发半小时后，货车才出发。问货车出发几小时后两车相遇？面对题组，不仅要引导学生根据实际问题分析出等量关系列出方程，而且要注重比较，提炼出不管题目情境和条件怎么变化，列方程所用的等量关系“客车行的路程+货车行的路程=全程”始终未变，进而体会方程思路解题的优越之处，领悟数学结构的简单美和数学方法的简单美。♪