解析高中数学数列试题的解题方法及技巧

江苏省海门实验学校 陆春东

数列是高中生学习数学过程中需要掌握的重要知识，数列与方程、函数、不等式之间有着紧密联系，数列题型复杂多变，学生在解题中极易产生困扰。高中数学教师应格外关注数列教学，尤其是有关数列试题的解题方法和技巧，更要进行专门训练，帮助学生掌握和数列相关的解题方法及技巧，使其能够准确、快速地解决数列问题，提升学习自信。

一、牢固掌握基础数列公式，运用公式原理解答试题

在高中数学数列知识体系中，包括等差数列和等比数列两大类型，考查数列概念的试题较为普遍，主要体现在求和公式与通项公式两个方面，只需要求学生反复朗读、背诵和记忆即可，他们就能够很好地理解和掌握数列公式，在面对此类试题时，可以在短时间内求出正确答案。同时，合理利用求和公式和通项公式，是理解基础数列知识和分析典型数列试题的基本体现，通过分析和解决试题，可以帮助学生有效掌握有关数列公式的规律。

比如，教师设置试题：已知{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，a1，a3，a9成等比数列，求数列{an}的通项公式以及数列的前n项和Sn。解析：根据题意可得该等差数列的公差d≠0，因为a1=1，a1，a3，a9成等比数列，得出（1+2d）2=（1+8d），解出d=0（舍去）或d=1，所以{an}的通项公式an=1+（n-1）×1=n。根据{an}的通项公式可得，根据等比数列前n项和公式能够得出：在解答完题目之后，教师需带领学生回顾解题思路，总结和归纳该类题型的解题技巧。

在上述案例中，教师通过设置基础性数列试题，要求学生对基本的等比数列公式和等差数列公式熟练掌握和透彻理解，学会科学、恰当地运用公式思考和解析试题。扎实基础知识与基本技能是开展深入学习的基础和前提，无论在哪个环节，我们都需要开展深入而有效的基础训练和学法指导，不积跬步无以至千里。

二、灵活运用数列性质解题，实现解答试题的高效性

在近年来的高考数学数列试题中，考查等差数列和等比数列基本性质的题目有很多，虽然部分题型解答起来较为容易，只需套入相应的公式即可，不过有的试题难度较大，考查学生的逻辑思维能力，这就要求他们在学习中既形成基本的数列素养，还要能够对枯燥乏味的知识进行灵活运用，不断拓展有关数列方面的知识，不断丰富学生的知识储备。所以，高中数学教师需引导学生灵活运用数列性质解题，解答试题时表现得更加高效。

例如：在等比数列{an}中，an＞0(n∈N＊），公比q∈（0，1），且 a1a5+2a3a5+a2a8=25，a3与 a5的等比中项是 2。（1）求数列{an}的通项公式。（2）设bn=log2an，数列{bn}的前n项和是当的值最大时，n的值是什么？解析：因为则，由题意可知an＞0，所以可得a3+a5=5，又因为a3与a5的等比中项是2，所以a3a5=4。而 q∈（0，1），则由此解得则a1=16，故数列由bn=log2an及an=25-n可得bn=5-n,bn+1-bn=-1,故数列{bn}是首项为4，公差为-1的等差数列。则当n≤8时，当n=9时，=0；当n＞9时，故当n=8或9时，的值最大。

如此，该试题主要考查数列的基本性质，特别是等差中项和等比中项，学生可以采用配方法和函数的单调性来求数列的最值，从而高效解答试题。题目是无限的，而方法是有限的，教师要通过科学引导来启发学生开展针对性的专题训练，让学生在训练中提升专题复习的效果，达成由此及彼、举一反三的效果。

三、采用通用数列解题技巧，帮助学生快速求解试题

随着对高中数学数列知识的深入学习，学生可以发现最普遍和形式最多的试题是对通用解题方法和技巧的考查，这就需要重点训练采用通用解题方法技巧处理试题，使其能够快速求解试题。由于高中数学数列试题的性质比较独特，学生在解题过程中的思维模式应当始终保持活跃，把特殊的数列进行合理拆分或合并，真正找到解题的突破点，之后根据题意灵活采用错位相减法、分组求和法、叠乘法、倒数法、倒序相加法等。

例如：在数列{an}中，a=1，且点（an，an+1）（n∈N＊）在函数f（x）=x+2的图像上。（1）求数列{an}的通项公式。（2）在数列{an}中抽取出第2，4，6，8……2n项，形成新的数列{bn}，那么数列{bn}的通项公式及前n项和Sn分别是什么？解析：（1）因为点（an，an+1）在函数f（x）=x+2的图像上，所以an+1=an+2，即an+1-an=2，故数列{an}是一个等差数列，其中首项a1=1，公差d=2，则an=1+（n-1）×2=2n-1。（2）根据题意可得 bn=a2n=4n-1，Sn=b1+b2+b3+…+bn=n（2n+1）。

上述案例，学生把数列中的每一项分成多项，再将数列的项进行重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，之后采用等差数列或等比数列求和公式进行求解，快速求出答案。在此，我们可以发现方法的重要性和必要性，在这个环节，我们教师需要启发学生对方法与思想进行积累与对比，在有效的、针对性的训练中提升学生对方法与思想的领悟深度，并逐渐转化为学生自身的素养。

在高中数学数列试题解题实践中，教师需要根据学生在解题中遇到的实际情况或困惑进行深入解析，帮助他们不断完善和优化解题方法及技巧，使其牢固掌握基础数列公式，灵活运用数列性质，指导学生掌握多个通用的解题方法及技巧，全力提高他们的数列解题水平。