Lagrange多项式插值及其应用

江楚萌

摘 要：本文围绕Lagrange多项式插值进行论述，介绍了Lagrange插值方法的原理，给出了Lagrange插值在高中数学知识解题中的一些有趣应用，并结合MATLAB算法对某动态系统的实例进行了研究。

关键词：多项式；Lagrange插值；MATLAB算法

中图分类号：O174.42 文献标识码：A 文章编号：1671-2064（2018）20-0253-02

1 引言与预备知识

不论在数学学科的数值计算中，还是在工程领域的生产实践中，许多问题都用函数来表示某种内在联系或规律，而不少函数都只能通过实验和观测来了解，给不出精确的表达式，或者函数的表达式过于复杂不利于计算；如对实践中的某个物理量进行观测，在若干个不同的地方得到相应的观测值；这时我们就需要构造这个函数的近似函数，数学上称这种方法为插值[1-2]。插值法作为数值微分、函数逼近及微分方程数值解的基础，在当今社会越来越受学者们的关注[3-4]。尤其是随着计算机的普及，很多研究工作者将插值法与MATLAB等软件结合，使得插值法在超大规模数值计算中得到了更广泛的应用。

插值问题概述：设函数在区间有个不同点，且对应的函数值，在函数类中寻找一函数作为的近似表达式，使满足：

这时称为被插值函数，称为插值函数，称为插值点，简称节点，称为插值区间。寻找插值函数的方法称为插值方法。

常用的插值方法有：Lagrange插值、Newton插值、Hermite插值和三次样条插值等。本文主要围绕Lagrange插值进行论述，从Lagrange插值原理的特点出发，给出了该方法在高中数学知识中有趣的一些应用，并结合MATLAB算法对某动态系统的实例进行了研究。

2 Lagrange插值公式

插值函数的构造，会因选择函数类的不同，相应地会采用不同的插值方法。由于多项式函数具有结构简单等一些良好的特征，譬如多项式是无穷光滑的，其导数及积分较容易计算。故本文围绕多项式插值进行论述，多项式插值的基本问题是：求一个至多次的多项式：

使其在给定点处与同值，即满足插值条件：

称为插值多项式，并且有如下定理成立：

定理：当个节点不同时，插值多项式存在且唯一。

从几何上看，次多项式插值就是过个点 ，作一条多项式曲线近似曲线（图1所示）。

如何构造上述的插值多项式呢？法国天才数学家J.-L.Lagrange创造性地发明了一种方便而实用的方法来解决这个问题。该方法是先通过构造一组基函数：

其中是次多项式，满足，然后定义如下的次多项式：

这样的多项式满足，称为Lagrange插值多项式。

3 举例应用

求过某些点的函数：

例1：求一个二次函数，使其在处与函数取相同的值。

解1：由于 ，取，应用Lagrange插值公式，有：

注：用待定系数法同样可以求出函数的表达式，但必须求解相应的线性方程组。一般地，若寻求一个次函数，则需求解一个元线性方程组，计算麻烦且易出错。

求函数在某点取值范围：

例2：已知函数满足：

，试判断的取值范围。

解2：取，应用Lagrange插值公式，有：

利用已知条件，我们有，故 。

求有穷数列的通项公式：

例3：求数列的一个通项公式。

解3：取，应用Lagrange插值公式，有：

注：任何一个有穷数列都有一个通项公式，并且通项可不唯一，例如：若给定，应用Lagrange插值公式，我们可以得到一个通项 ；同时注意到他们为著名的斐波那契数列（通项为：）的前4项，这些通项公式均为原数列的通项公式。

通常工程和数学计算中，已知的数据点会非常多，此时Lagrange插值公式将很难手动计算。为实现对高维数据点的插值计算，可以在计算机MATLAB软件中编写一个M文件得到Lagrange插值公式的精确表达式和Lagrange插值算法子程序。设个节点数据用数组输出，数组分别表示插值点和插值，分别编写名为lagrange.m和lagrange1.m的M文件实现Lagrange插值。

例4：表1为某动态系统在某时刻t（min）与对应测量值y：

那么在t=7min和t=10.5min时刻对应的测量值分别是多少？

解4：调用MATLAB中编写的M文件，得到Lagrange插值公式为：

t=7min和t=10.5min时刻计算结果为：

Lagrange插值对应的曲线图2所示：

4 结语

本文从Lagrange插值原理的特点出发，结合高中数学知识给出了一些相关应用，并结合MATLAB算法对某动态系统的实例進行了分析。同时我们注意到，Lagrange插值原理有很多推广，比如重心Lagrange插值法等。寻找Lagrange插值方法及其推广的更多实际应用，是我们进一步研究的工作。

参考文献

[1]张韵华，奚梅成，陈效群.数值计算方法与算法[M].北京：科学出版社，2006.

[2]李庆扬，王超能，易大义.数值分析（第五版）[M].北京：清华大学出版社，2008.

[3]唐旭清.数值计算方法[M].北京：科学出版社，2016.

[4]林昌华，杨岩.拉格朗日插值法在工程设计及CAD中的应用[J].重庆理工大学学报（自然科学版），2013，（12）：34-37.