气膜汽笛的发声研究

蓝佳雯静，王艺蓉，金 山，康秀英

(北京师范大学 物理学系，北京 100875)

“气膜汽笛发声频率的影响因素”是2017年中国大学生物理学术竞赛(CUPT)的一道比赛题目. 气膜汽笛由圆柱容器、气球膜和长圆柱内管组合而成，类似于市场上的“多多”笛. 气膜汽笛制作简单，内管穿过圆柱型容器底部，直达容器顶部的气膜，容器侧壁处有1个小孔，对其侧壁的小孔鼓风可以产生声音. 目前已有对与其类似的管乐器发声问题进行探究[1-3]，但是对于气膜汽笛具体的分析和定量的实验研究还鲜见. 气膜汽笛和管乐器的不同之处在于其边界条件是振动的气球膜，故而驻波模型并不完全适用. 本文分析了气膜汽笛发声的物理过程并且建立了气膜汽笛发声的理论模型，通过定量实验探究了影响气膜汽笛发声频率的因素，实验结果和理论模型预测基本一致.

1 物理过程分析

实验装置示意图如图1所示. 初始时刻，气球膜与内管紧贴，当空气从容器侧壁进入容器后，容器内压强大于大气压强，造成气球膜向外鼓起，膜的鼓起使容器内空气得以进入内管，同时造成容器内气压下降，气球膜收缩至与内管紧贴，整个过程不断循环，从而空气在内管中形成驻波，内管的空气柱振动而发声.

图1 实验装置示意图

用手机录音，然后用Matlab傅里叶变换，得到该声音的频谱图像，如图2所示.

图2 气膜汽笛声的傅里叶频谱

从图2可以看出，汽笛声并非只存在单一频率，还存在成倍的高频，这是本征振动的问题,空气柱形成了驻波[4-5]. 空气柱振动产生声音实质是空气密度疏密变化，在理论模型中，利用声压遵从的波动方程求解该问题.

2 理论模型

2.1 气球膜的运动

气球膜(图3)振动为二维微小横振动[6]：

(1)

(2)

其中，T为气球膜的张力(每单位长度的牵引力)，ρs为气球膜的面密度. 列出边界条件为

u(r,θ,t)|θ=0=u(r,θ,t)|θ=2π,

(3)

u(r,θ,t)|r=R=0.

(4)

求解方程(1)，且u对θ是轴对称函数，最终解出：

(5)

(6)

图3 气球膜示意图

2.2 内管空气柱的振动

内管中空气柱振动可简化为一维的声压的波动方程：

(7)

(8)

其中，p为空气的声压，γ为空气定压比热容与定容比热容的比值，p0为空气处于平衡状态时的压强，ρg为空气的密度. 边界条件为

px|x=0=0,px|x=l=f(t),

(9)

(10)

其中，ωz为声音的角频率，f为声音的本征频率，n为正整数. 由(9)和(10)式可以看出，汽笛声音基频与管长有关.

3 实 验

3.1 实验设计

实验装置图如图4所示，采用控制变量法探究各因素的影响. 容器和内管分别采用不同半径和长度的圆柱形硬纸筒和PVC管，选用多种气球膜，吹风机有15个不同的挡位以控制鼓风速度. 实验中，用手机录音并且用Matlab对该声音作傅里叶变换，从而获取声音的频率. 由于高频与基频成倍数关系，故而实验只需要对基频进行数据分析.

(a) 正视图

(b)侧视图图4 实验装置实物图

3.2 探究影响声音频率的因素

3.2.1 鼓风速度

实验取用2组不同的膜(编号1,2)进行2组实验，改变吹风机的挡位，相当于改变了鼓风速度，即空气进入小孔的速度，其他条件保持不变(其余各参量见表1)，得到结果如图5所示. 从图5中可知，在实验误差允许的范围内，鼓风速度对声音的基频不会造成影响.

表1 仅改变鼓风速度时汽笛参量

注：D为容器直径，d为管直径，l为管长，L为容器长度.

图5 改变吹风机挡位时声音基频变化

3.2.2 容器长度

与鼓风速度的探究类似，取用3组不同的膜(编号3,4,5)进行3组实验，每组实验改变容器长度，控制其他参量不变：容器直径6.8 cm，管直径1.5 cm，管长45.0 cm，鼓风挡位7，得到如图6所示结果. 从图6中可知，在误差允许的范围内，容器长度对声音的基频亦不会造成影响.

图6 容器长度对基频的影响

3.2.3 内管长度

实验取用3组不同的膜(编号6,7,8)，其他参量：管直径1.5 cm，容器长度12.5 cm，容器直径6.8 cm，鼓风挡位7. 内管长度从15 cm增至45 cm，记录基频.

考虑管口并非严格的波节，需采用经验公式对管长进行修正：

l修=l+0.8d.

(11)

改变管长时基频测量值如表2所示，结果如图7所示.

表2 改变管长时基频测量值

(a)未修正

(b) 修正后图7 管长对基频的影响

从图7来看，管长修正后，截距接近0，符合理论模型，因而声音频率应该采取管长修正，而修正管长与频率的关系符合(10)式.

3.2.4 气球膜的张力和半径

气球膜编号9～13，改变气球膜张力时汽笛其他参量：管径1.5 cm，管长20 cm，容器直径6.8 cm，鼓风挡位7.

探究气球膜张力时的困难在于测量气球膜的拉力. 实验采取的方法是制作完汽笛后，在气球膜上画十字架，测其长度，测完频率后将气球膜取下，用数字拉力计将气球膜拉至原十字架的长度，读取拉力计的示数.

实验采用紧绷程度不一的气球膜，按上述方法测量气球膜拉力F，根据张力T的定义：

(12)

从而得到气球膜张力的大小，对张力与基频的平方作拟合.

改变气球膜张力时基频测量值如表3所示，得到图8所示结果.

表3 改变气球膜张力时基频测量值

图8 张力对基频的影响

图8结果显示，在误差允许范围内，膜张力与声音基频的平方呈线性关系，与理论相符合. 但测量拉力时，要将气球膜拉伸到原十字架长度并保持稳定，以及受气球膜疲劳程度的影响，实验存在一定的误差.

最后，实验探究了气球膜直径(容器直径)对声音频率的影响. 气球膜编号14～19，管径1.5 cm，管长25 cm，鼓风挡位7.

实验控制气球膜张力不变而改变其半径，即控制

(13)

式中Δxn为第n个气球膜的伸长量，Rn为第n个气球膜的半径(见图9).

图9 气球膜控制的参量示意图

改变气球膜半径时基频测量值如表4所示，测量结果如图10所示.

表4 改变气球膜半径时基频测量值

图10 气球膜半径对基频影响

图10结果显示，在误差允许范围内，声音基频与气球膜半径成反比.

4 结束语

从理论和实验两方面探究气膜汽笛的声音频率影响因素，利用Matlab分析声音频率，设计实验测量气球膜张力. 实验结果与理论模型对比分析表明，气膜汽笛声音频率存在基频和成倍的高频，该声音的基频与鼓风速度和容器长度无关，与内管管长和气球膜半径成反比，基频的平方与气球膜的张力成正比，实验结果与理论预测基本吻合. 说明：理论方面，膜的振动如何影响管内空气柱振动的边界条件及膜影响声音频率的具体机制还需进一步探究；实验方面，气球膜的疲劳程度、气球膜表面不均匀以及拉力的测量皆会对实验结果造成影响，测量气球膜拉力的方法还需要改进.