基于Hoek-Brown强度准则的岩质边坡稳定性上限分析

罗 群 殷丽平 罗 声

(1.长沙市中等城乡建设职业技术学校，湖南 长沙 410000； 2.中南林业科技大学涉外学院，湖南 长沙 410000； 3.株洲市公安消防支队，湖南 株洲 412000)

0 引言

边坡工程的稳定性评估是岩土工程领域的重要研究课题，其与交通、采矿等多个行业的安全生产有着紧密的联系[1,2]。针对这一课题，学者已经进行了大量的研究，并取得了一定的成果。这些研究所采用的方法主要包括：模型试验法、极限平衡法和数值模拟法。除上述方法外，塑性力学中的极限分析法近年来也被学者和工程师引入到边坡稳定性分析中。

极限分析法忽略材料复杂的应力应变过程，而直接基于上、下限定理求解极限状态下外荷载的范围[3]。与其他方法相比，该方法具有严格的理论基础和方便的求解过程等优点。为了获得保守的分析结果，边坡的稳定性分析通常采用极限分析上限法，相应的分析过程为：1)结合边坡实际破坏的特征，构建合理的破坏模式；2)计算极限状态下破坏模式的内部能量损耗率和外力做功功率；3)根据内、外功率相等，推导得到外荷载的表达式。其中，内部能量损耗率的计算需要用到岩土材料在破坏面上的抗剪强度。对于服从经典Mohr-Coulomb强度准则的材料，这些强度参数可以很容易地确定。然而，对于含有大量的节理、层面、裂隙等不连续结构面的岩体，其强度特性通常十分复杂，无法用简单的Mohr-Coulomb强度准则描述。为了给实际工程提供更加准确的指导，本文基于Hoek-Brown强度准则对岩质边坡的稳定性进行了上限分析。

1 Hoek-Brown强度准则与切线法

基于对大量试验数据的统计分析，Hoek和Brown在1980年提出了一种岩石强度的经验准则[4]。由于能较好地描述岩石的强度特性，该破坏准则在岩土工程中得到了广泛的应用。此外，Hoek等学者也对这一经验的准则进行了多次改进，使其能描述岩体的强度特性，并考虑扰动、岩石质量等因素的影响[5,6]。目前，Hoek-Brown强度准则的最新版本如式(1)所示：

σ1-σ3=σc[mσ3/σc+s]μ

(1)

其中,σ1,σ3分别为大和小主应力；σc为岩石的抗压强度；m,s，μ均为与岩体的质量有关的材料常数，一般可通过式(2)确定：

(2)

其中，m1为完整岩石的材料常数，可根据岩石的类型进行确定；GSI为地质强度指标；D为大小在0.0～1.0之间的岩体扰动系数，取值越大则说明岩体扰动越大。

与Mohr-Coulomb强度准则不同，式(2)所示的Hoek-Brown强度准则在σn-τn应力空间中是非线性的，如图1所示。这一特性使得岩体的内摩擦角和粘聚力不能根据强度准则直接确定，进而造成相应的极限分析难以进行。为了克服这一困难，可以采用“切线法”计算Hoek-Brown强度准则的等效Mohr-Coulomb参数[7]。如图1所示，一条切线与Hoek-Brown强度准则相切于M点，其倾角为φt、截距为ct。切线法采用该切线代替原来的Hoek-Brown强度准则，并将φt和ct视作岩体的等效内摩擦角和等效粘聚力。鉴于在同一正应力水平下，由切线所代表的强度始终不小于Hoek-Brown强度准则所对应的强度，基于等效强度参数的极限分析将得到实际荷载的上限值。通过推导，等效粘聚力ct的表达式为：

(3)

2 上限分析过程

合理地构建边坡在极限状态下的破坏模式是进行有关极限分析的首要任务。对于服从理想塑性假设和相关联流动法则的材料，当破坏发生时其内部的速度间断面应为一对数螺旋线。因此，如图1所示的对数螺旋破坏机制在边坡稳定性的上限分析中被广泛采用。由于采用了Hoek-Brown强度准则的等效强度参数进行计算，在以O为中心的极坐标中对数螺旋线BC的方程为：r(θ)=r0exp[(θ-θ0tanφt]。其中,r0为OB的长度；θ0为相应OB与水平方向的夹角。

在该破坏机制中，由对数螺旋线BC所包围的破坏体ABC绕着旋转中心O转动，而边坡的其他部分则保持静止。因此，外力做功功率仅由块体ABC的重力产生，可采用叠加法推导得到外力功率的表达式。此外，鉴于破坏体被假定为刚体，内部能量损耗仅会在速度间断面BC上产生。结合等效粘聚力Ct，破坏发生时总的能量损耗率可通过积分得到。在此基础上，根据极限分析上限定理，由内、外功率相等推导得到边坡临界高度H的解析解，如式(4)所示：

(4)

其中,γ为岩体的重度；α，β分别为图2所示的边坡坡面倾角；θh为OC与水平方向的夹角；f1,f2，f3分别为与几何参数θ0,θh以及等效内摩擦角φt相关的函数，其具体的表达式为：

(5)

从式(4)中可以发现，岩质边坡的临界高度Hcr由φt,θh和θ0三个参数控制。借助Matlab的优化工具箱，可以很容易地计算给定参数条件下边坡临界高度的最优上限解，并得到相应φt,θh和θh的值和速度间断面的位置。在此基础上，结合等效内摩擦角φt和式(3)，可确定相应等效粘聚力ct的大小。由于在实际工程中常用安全系数或稳定系数表征边坡的稳定性，本文引入Nn=NL(φt)ct(φt)/(s0.5σc)计算Hoek-Brown强度准则下岩质边坡的稳定系数[8]。其中,NL为Mohr-Coulomb强度准则下边坡的稳定系数，具体的表达式可参照文献[3]。将对应于边坡临界高度最优上限解的等效内摩擦角φt和等效粘聚力ct代入稳定系数的计算公式，即可得到此时边坡的稳定系数。

3 算例分析

为了对Hoek-Brown强度准则下岩质边坡的稳定性有一个更直观的认识，本文进行了相应的算例分析。对应于α=0°和β=60°的岩质边坡，计算得到典型参数下的稳定系数如表1所示。从表1中可以发现，地质强度指标GSI和扰动系数D对岩质边坡稳定系数的影响较大，而材料常数mi的影响相对较小。随着GSI或者mi的增加，岩质边坡稳定系数增加；而随着扰动系数D的增加，边坡的稳定系数则相应地减小。因此，在采用Hoek-Brown强度准则进行岩质边坡的设计计算时，有关的地质强度指标GSI和扰动系数D应结合实际的地质情况进行合理地确定。

表1 典型参数下岩质边坡的稳定系数

4 结语

为了更准确地评估岩质边坡的稳定性，本文采用“切线法”得到了Hoek-Brown强度准则的等效Mohr-Coulomb强度参数，基于极限分析法推导了边坡临界高度的解析解，并借助数值优化方法计算了典型参数下边坡的稳定系数。通过对这些计算结果的对比分析，本文发现岩体的扰动系数和地质强度指标对计算结果影响较大，建议在相应分析中进行合理取值，以便获得更加准确的结果。