关于无穷级数概念的教学设计研究

魏妙

【摘要】简明叙述了无穷级数的发展历史，据此对其历史发展进行重构，并进行教学设计.教学实践表明无穷级数概念的教学设计激发了学生的学习热情，对提高学生学习效果有很大帮助.大多数学生愿意接受数学历史引入课堂的教学方法.

【关键词】无穷级数；发展史；发生教学法；敛散性

一、引 言

无穷级数是微积分教学内容的重要组成部分，为后续研究学习提供了有力的工具.而现行的教材舍弃了无穷级数的历史背景及其在历史中的演化过程，学生仅凭教材中的内容，难以深刻理解概念，与其他知识的联系也知之甚少.M·克莱因说过，历史上数学家所遇到的困难，今天的学生也同样会遇到[1]，以下在研究无穷级数发展历史的基础上，重新对无穷级数概念的内容进行整合，探索符合学生认知规律的教学设计.

二、无穷级数的历史及其重构

无穷级数的历史可以上溯到遥远的古希腊时代.公元前5世纪哲学家芝诺提出了一系列关于运动的不可分性的哲学悖论，如著名的阿喀琉斯追龟问题、二分法问题.芝诺悖论所带来的困惑说明，希腊的哲学家们无法将无穷多个线段之和与有限长度的线段联系起来.亚里士多德认识到公比小于1的几何级数有和[2].阿基米德在求抛物线弓形面积时利用双归谬法证明了几何级数[3]

中国古代的《庄子·天下》中的“一尺之捶，日取其半，万世不竭”也蕴含无限项相加的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数.中世纪法国学者奥雷姆，对几何级数和调和级数进行了研究讨论，为十七世纪关于无穷级数和无限过程的重要工作开辟了道路.

17到18世纪数学家大量的使用了无穷级数，主要有以下几方面.首先，无穷级数被用来表示函数和超越函数.牛顿在1666年得到了arcsinx的级数，并进一步得到了arctanx的级数.在1669年的《分析学》中，给出了sinx，cosx等函数的级数表达式.莱布尼茨也在1673年左右独立的得到了sinx，cosx，arctanx的级数形式.其次，无穷级数被用来表示一些特殊量如π，e.牛顿、莱布尼茨、格雷戈里、欧拉等数学家对级数的兴趣很大一部分来自对特殊量的表示[2].如，莱布尼茨在1674年得到

此外，为适应航海、天文学和地理学的发展，三角函数和对数函数都需要展开为精度较大的展开式.值得注意的是这一时期的数学家们注意到了无穷级数在表示函数、理论证明、数值计算中有巨大的作用.但他们只是注意了级数的应用而忽略了级数使用的前提即级数的敛散性.

十九世纪初期法国数学家傅立叶给出一个无穷级数收敛的正确定义.德国数学家高斯首次对收敛性进行了极为严密的研究，给出了高斯判别法，高斯的研究使无穷级数理论进入了现代时期.法国数学家柯西被看作是无穷级数敛散性理论的创立者.1821年《分析教程》中首次给出清晰的极限概念而且给出了判别无穷级数收敛发散的一些常用方法，如根式判别法、对数判别法[2].后来由魏尔斯特拉斯提出的一致收敛完成了整个级数理论的构建.

根据上面的历史考查，无穷级数的历史大致可以分成萌芽、形成、确立三个阶段.数学家在无穷级数的发展的初期无法将有限项相加和无限项相加的概念区分开，在早期使用无穷级数时基本没有注意到收敛区间的判断，而从早期使用无穷级数到无穷级数极限概念的建立更是经历了几个世纪的漫长时间.

三、无穷级数概念的教学设计

我们现用的微积分教材往往直接给出确定的定义和判别方法.尽管这样的处理方式相当简洁，但对照发生教学方法，它存在如下不足：（1）学生难以一下子完成从有限项相加到无限项相加的过渡；（2）学生对判别敛散性的必要性认识不深刻.因此，为了适合于教学，让学生完成从有限到无限的过渡，进一步认识到判别敛散性的重要性，需要对教学内容进行重构.并基于重构的无穷级数历史，设计无穷级数概念的教学.用下图表示无穷级数的历史及其重构.

四、问卷调查及反思

为检验以上无穷级数概念教学设计的优劣，对我校16级数学与应用数学专业两个班进行了课堂教学并进行了问卷调查，共收回问卷80份.被调查学生均使用华东师大版《数学分析》教材，并已完成了一元函数微积分部分的学习.本节课采用了多媒体进行教学.通过问卷调查发现绝大部分学生十分认可本教学方式：学生在课堂上的表现积极，对所学内容表现出浓厚的兴趣，有98%的学生表示完全或基本听懂了课堂内容；100%的学生认为从历史发展讲数学有助于理解数学内容，并希望以后有类似的教学方法.

五、总 结

回顾无穷级数的发展历史，无穷级数从萌芽到确立经历了两千多年的时间，直到19世纪在柯西等数学家的努力下才建立了严密的级数理論.本文给出的无穷级数概念教学设计呈现了无穷级数概念的发展过程，关注了学生的认知过程和学习动机.通过调查问卷发现此无穷级数的教学设计产生了理想的教学效果.对学生学习本节内容有很大的帮助.

【参考文献】

[1]Albers D J，Alexanderson G L.Mathematical People，Profiles and Interviews[M].Boston：Birkhauser，1985：169-172.

[2]莫里斯·克莱因.古今数学思想（第二册）[M].上海：上海科学技术出版社，2002：160-189.

[3]汪晓勤.19世纪上半叶的无穷级数敛散性判别法[J].大学数学，2004（20）：127-134.

[4]Kline M.Logic Versus Pedagagy[J].American Mathematical Monthly，1970（3）：264-282.

[5]华东师范大学数学系.数学分析（下册）：第3版[M].北京：高等教育出版社，2001.