结构可靠度中心点法

摘 要：基于可靠度理论，概括了可靠度分析方法，主要介绍了一次二阶矩阵方法中的中心点法，概括了中心点法的优点、缺点。并介绍一个简单的中心点法算例，以及用MATLAB编制计算程序。

关键词：可靠度；分析方法；中心点法；算例；MATLAB；

钢、木、砖石、混凝土及钢筋混凝土等建造的工业与民用建筑的承重结构，公路和铁路的桥梁、涵洞，港口工程的码头，水利工程的堤坝、渡槽、水闸，给水排水构筑物的水池、水管等，统称为工程结构。工程结构可靠度是指工程结构在规定的时间和在规定的条件下完成预定功能的能力。关于可靠度理论的研究国际上起始于20 世纪20 、30 年代的军事领域， 并逐步扩展到工程结构领域之中。这无疑是结构工程学科的重大进展之一， 从此可靠度的理论得到了较快的发展。目前国际上（Borges 等人）把可靠度理论的发展分为三个水准[1]：即半经验半概率法， 它是把对影响结构可靠度的某些参数进行数理统计分析， 并与经验结合， 再引入某些经验系数来计算；近似概率法， 亦即一次二阶矩法， 它是运用概率论和数理统计知识对工程结构的可靠概率进行计算；全概率法是严格基于概率论的结构可靠度的精确的分析计算方法， 由于此方法存在不易解决的数学困难， 目前尚处于研究段。

1 可靠度分析方法综述

结构可靠度计算按研究对象可分为单一失效模式的可靠度计算和系统可靠度计算。单一失效模式按求解手段可分为采用数学近似方法的解析概率法和应用计算机技术的数值模拟法两种，系统可靠度计算主要分为点估计法和区间估计法。工程结构可靠度的分析具有大量的不确定性，如结构外部环境的不确定性， 包括荷载类型和结构所处的位置等；结构本身的不确定性， 包括构件材料的性能， 截面几何参数和计算模型的精度等。可靠度的计算方法从研究对象来说可以分为结构点（构件）可靠度计算法和结构体系可靠度计算法。由于可靠度研究本身的复杂性和全概率法中的难以解决的数学困难， 结构体系的可靠度的研究目前还很不成熟， 仍处于探索阶段[2]。

赵国藩提出了实用分析法，引用加权分位值、灵敏系数的概念，正態化随机变量求可靠指标β值[3]。

2 一次二阶矩方法

一次二阶矩法是将非线性功能函数做了线性化处理， 所以它是计算可靠指标（β）的最简单的方法。只需要考虑随机变量的前一阶矩（均值）和二阶矩（标准差）以及功能函数展开式的常数项和一次项， 以随机变量为前提在平面直角坐标系内来求解可靠指标。由于一次二阶矩计算法相对较简便， 大多数情况下计算精度可以满足工程要求， 因此广泛应用于各工程计算中[4]。一次二阶矩方法分为中心点法和设计验算点法。中心点法不顾及变量的概率分布；基本的验算点法只处理正态随机变量，JC法、映射法和使用分析法还能够处理其他概率分布随机变量。

2.1 中心点法

中心点法是结构可靠度研究初期提出的一种方法，其基本思想是首先将非线性功能函数在随机变量的平均值（中心点）处作泰勒级数展开并保留至一项，然后近似计算功能函数的平均值和标准差。可靠度指标直接用功能函数的平均值和标准差表示。其结构可靠度指标表示为[2]：

（1）

由于中心点法计算结果比较粗糙，一般只用于结构可靠度要求不高的情况，如钢筋混凝土结构正常使用极限状态的可靠度分析。

设结构的功能函数具有一般形式，即：

（2）

其中基本随机向量各个分量相互独立，其均值为 标准差为。

将功能函数Z在均值点X处展开成Taylor级数并保留至一次项，即

（3）

则Z的均值和方差可分别表示为

（4）

（5）

将式 （4）和（5）带入得到式（1）。

上述非线性功能函数Z的近似值和近似标准差所用的Taylor级数方法通常称为 方法，工程师通常称式（5）为误差传播公式。这种方法将功能函数Z在随机变量X的均值点展成Taylor级数并取一次项，利用X的一阶矩和二阶矩计算Z的可靠度，所以称为均值一次二阶矩法或中心点法。当已知X的均值和方差时，可用此方法方便的估计结构可靠度指标的近似值。但此方法对于相同意义但形式不同的极限状态方程，可能会给出不同的可靠度指标。这是因为中心点不在极限状态面上，在中心点处做Taylor展开后的超曲面可能会明显偏离原极限状态面。此外，中心点法没有利用基本随即变量的概率分布，只利用了随机变量的前两阶矩阵，这也是它的明显不足之处。中心点法计算简便，若分析精度要求不太高，仍有一定的使用价值。

2.2 中心点法算例及在MATLAB中的编程

例：圆截面直杆承受轴向拉力P=100KN。设杆的材料的屈服极限和直径d为随机变量，其均值和标准差分别为 =290N/mm2， =25 N/mm2； =30mm， =3mm。求杆的可靠度指标。

解： 由式（1）得到杆的可靠度指标

（b）

以轴力表示的极限状态方程为Z=g（，d）=—P=0 （c）

将式（c）中的g（，d）代入式（b）并化简，得杆的可靠度指标

以应力表示的极限状态方程为Z=g（，d）=—=0 （d）

将式（d）中的g（，d）代入式b并化简，得杆的可靠度指标

在MATLAB中的程序清单如下：

clear；clc；

muX=[290；30]；sigmaX=[25；3]；

g=pi/4*muX（2）^2*muX（1）-1e5；

gX=[pi/4*muX（2）^2；；pi/2*muX（1）*muX（2）]；

bbetaC1=g/norm（gX.*sigmaX）

g=muX（1）-4/pi*1e5/muX（2）^2；

gX=[1；8*1e5/pi/muX（2）^3]；

bbetaC2=g/norm（gX.*sigmaX）

计算结果为bbetaC1= 2.3517；bbetaC2= 3.9339。

3 结语

中心点法是针对基本随机变量服从正态分布或是对数正态分布， 状态函数为线性形式或可以等效转化为线性形式且结构可靠指标β =1 ～ 2 的情况， 计算结果比较粗糙， 一般适用于结构可靠度要求不高的情况， 而设计点法仅适用于β 值较大（β >4 .5）或是设计值远不满足极限状态方程的情况采用MATLAB语言进行结构可靠度的数值计算，可充分发挥利用矩阵运算功能及各种工具箱的快速和便捷，从而大大提高编程和计算的效率。对结构体系可靠度而言，通过MATLAB编程语言，以高效精确的算法实现复杂结构，避免很多重复性的劳动，解决了结构可靠度的分析问题。

参考文献

[1]解伟， 李昆良， 彭万春.水工结构可靠度设计[ M] .郑州：河南科学技术出版社， 1997 .

[2]姚泽良，李宝平，周雪峰.结构可靠度分析的一次二阶矩方法与二次二阶矩方法[J].西北水利发电.2005.

[3]李艳.基于最优化方法的结构可靠度计算及MATLAB程序实现[D].武汉：武汉工业学院，2012.

[4]李秋实，欧可活.工程结构可靠度分析方法研究[ J] .公路与汽运， 2004 .12

作者简介

张焱飞（1995-），男，汉族，河南三门峡市人，硕士，河南大学土木建筑学院建筑与土木工程专业，研究方向：岩土边坡稳定分析。