我出高考数学题（十八）

1.某地发生了一起撞车事件.肇事后，司机驾车逃逸了.交警在调查此案时，询问了3名现场目击者.遗憾的是，他们谁也记不清肇事车辆的车牌号，能记忆的分别是：车牌号是四位数码且头两位数字相同：末两位数字也相同：车牌号是一个正整数的平方.恰好这位交警精于数学，进而迅速推断出了肇事车辆的车牌号.肇事车辆的车牌号为____.

解 设车牌号是aabb，其中a，b∈{0，1，2，…，9}，1≤a+b≤18.

由aabb=11（100a+b）=11（9·11a+a+b），及aabb是一个正整数的平方，可得11|a+b，所以b=11-a（a=2，3，…，9）.于是可得aabb=11（9·11a+11）=11₂.（9a+1），則9a+1也是一个正整数的平方.设9a+1=n₂（n∈N_*），可得9a=（n-1）（n+1）（n=5，6，7，8，9）.

若3|n-1且3|n+1，可得3|2，这不可能，所以9|n-1或9|n+1，则n+1≥9，进而可得n=8.故a=7，b=4，肇事车辆的车牌号为7744.