中国综合运输网络拓扑结构及其鲁棒性研究*

高 佩 姚红光

(上海工程技术大学航空运输学院 上海 201620)

0 引 言

综合运输网络是指包含“铁路、公路、水路、航空和管道”等多种运输方式，由多种运输方式的节点和线路连接而成，通过多种运输方式相互协作实现“旅客、货物”从始发地到目的地位移服务的空间网络结构.

综合运输网拓扑结构及鲁棒性研究，目前已成为研究热点：段后利等[1]对城市公交网络的统计特征进行了实证研究，测算出相关统计特征参数，并通过与随机网络对比研究了城市公交网络的特点.程书恒等[2]对集装箱海运航线的网络特征进行了研究，通过数值模拟，计算了网络的度分布、簇系数、平均路径长度等指标.田炜等[3]对全球航运网络特征进行了分析，通过对全球航运网络节点度分布、度值相关性和度与介数相关性分析发现，度值大的节点优先与度值较大节点连接，度值大的节点介数也较大，因而度值较大的节点对网络影响程度较大.邓亚娟等[4]以中国公路网络为研究对象，分析了公路网络拓扑结构的统计特征.刘宏鲲[5]则对中国航空网络的统计特征进行了研究，指出了航空网络的度分布具有双截尾幂律分布的特征.文献[6]采集了中国航空网络的节点和航线数据信息，测算出了网络的基本统计特征参数.上述研究都从不同侧面反映了开展交通运输网络统计特征研究的必要性，然而目前的研究仅限于某一特定运输领域，对于由多种运输方式构成的综合运输网络，其网络的统计特征研究成果尚比较匮乏.

1 中国综合运输网络模型的构建

1.1 中国综合运输网络的数据采集

1) 节点信息的采集 将地级市以上行政区作为综合运输网络的节点，因部分地区与地级市存在包含关系，为统计方便，将二者合并；共采集684个节点城市.

2) 运输线路信息的采集 以684座节点城市为基础，采集其之间的“铁路、公路、航空、水运”线路，供采集到铁路线路648条，干线(国道)公路68条、高速公路79条、国内航线2 198条、内河航道25条.

1.2 中国综合运输网络的邻接矩阵的建立

邻接矩阵是网络分析中最常使用的数据存储形式，其特征是正方阵.在此方阵中，行和列都代表完全相同的网络节点，并且行和列排列的顺序相同，矩阵中的要素代表节点之间的关系，以这种形式来表示网络关系的数据集合被称为邻接矩阵，记作X.根据矩阵中要素的不同含义，邻接矩阵可以分成不同的类别.

1) 结构邻接矩阵 结构邻接矩阵主要用来反映综合运输网络中各节点的实际连接状况，在该矩阵中“空间上有线路直接相连的两座节点城市对应的元素为1，其余元素为0”，记为X1.

2) 服务邻接矩阵 服务邻接矩阵是以能否实现相关服务作为判断两个节点城市是否存在相互关系的标准.若两个节点城市之间可以进行运输服务，则其对应的元素是否为1；否则为0，记为X2.

3) 频次邻接矩阵 频次邻接矩阵用来反映综合运输网络中节点间开展运输活动的便利程度，该矩阵通过以两点间运输服务日班次为权重，对“服务邻接矩阵”加权得到，记为X3.

2 中国综合运输网络结构的基本统计特征分析

2.1 中国综合运输网络中节点“度”值的实证研究

2.1.1复杂网络中“度”值解析

网络中节点i的度ki定义为：与节点i相接的边的总数.在网络中，一个节点的度越大就意味着与其相连的其他节点越多，其拥有的边数也就越多，也就意味着该节点在网络中具有更重要的作用.网络中所有节点i的度ki的平均值成为网络的平均度，见式(1).

(1)

式中：N为网络的节点数

2.1.2中国综合运输网络中节点“度”值测算

不同邻接矩阵算计出的节点的度值所代表的含义也不相同.其中，根据X1计算出的节点度值表示“网络中与该节点空间相邻的节点城市的数量”；根据X2计算出的节点度值表示：“网络中与该节点有运输线路相连的节点城市数量，即通过该节点可以不经中转而直达的城市的数量”.根据X3计算出的节点度值表示：“该节点共拥有的运输班次总数”.

利用不同的邻接矩阵，借助复杂网络专业分析软件UCINET，计算出综合运输网络中各个节点在不同邻接矩阵中的度值，度值排名前10的节点城市见表1.

表1 各邻接矩阵中节点城市的度值

2.2 中国综合运输网络中 “度”分布情况研究

度分布函数反映的是复杂网络系统的宏观统计特征.综合运输网络的结构特征可用分布函数P(k)来描述，P(k) 为具有相同度k的节点的出现概率，即一个任意选择的节点度为k的概率.利用UCINET软件，通过计算各节点度值，可以统计出网络的度分布情况.

其中X1的度分布见图1.该网络中节点度值服从幂律分布.即

P(K)～ak-r

通过数值拟合得到度分布函数为P(K)=0.404 3k-1.307，其中R2=0.901.

图1 中国综合运输网络的结构邻接矩阵度分布图

对图1中各节点的横、纵坐标取对数，可以得到X1对数坐标系下的节点度分布，见图2.

图2 中国综合运输网络的结构邻接矩阵度分布图(对数坐标系)

由图2可知，中国综合运输网络节点的度分布在对数坐标系下成直线递减形似，反应了网络具有显著的无标度网络特征.

按照同样的方法，可以得到X2,X3普通坐标系和对数坐标系下的度分布情况见图3～4.

图3 X2邻接矩阵度分布图

图4 X3邻接矩阵中度分布图

通过数值拟合得到X2矩阵度分布函数为：P(K)=0.1 685k-0.859；X2矩阵度分布函数为：P(K)=0.1 310k-0.784.其度分布函数均随度值呈显著线性下降趋势，因此可判断上述两种网络亦具有显著的无标度网络特征.

综上所述，实证研究结果表明：中国综合运输网络三种邻接矩阵的其网络结构特征均表现出显著的无标度网络特征，其幂律系数介于[0.7，1.5]之间；上述结果表明：在中国综合运输网络中，节点度值分布极不均衡，少数节点的度值很大，在网络中发挥着关键作用；而大多数节点，度值较少，仅能起到某些方面的辅助作用.

2.3 中国综合运输网络的平均最短路径长度的实证研究

网络的平均最短路径长度L用来反映任意两个节点之间边的平均值.在综合运输网络分析中，可以用该参数反映网络中物资在从始发地到目的地流通过程中的中转次数.根据邻接矩阵的含义，应针对矩阵X2测算其平均最短路径.

利用邻接矩阵X2，借助复杂网络专业分析软件UCINET，计算出中国综合运输网络的平均最短路径长度L=2.498，中国综合运输网络中不同中转次数的数量分布见表2.

由表2可知，在中国综合运输网络中97.4%的城市对之间的运输活动仅需2次以内的中转即可实现，反应出中国综合运输网络具有较强的服务便捷性.

表2 不同中转次数的城市对数量分布

2.4 中国综合运输网络簇系数的实证研究

簇系数C是用于衡量网络节点集聚情况的参数.节点i的簇系数是指：它的所有邻节点之间连边的数目占可能的最大连边数目的比值[7].若假设网络中的一个节点i有ki条边将其和其他节点相连，显然，在这ki个节点之间最多可能有ki(ki-1)/2条边；而这ki个节点之间实际存在的边数Ei和总的可能的边数ki(ki-1)/2之比就定义为节点i的簇系数，见式(2).网络的簇系数C则是所有节点簇系数ci的平均值.

Ci=2Ei/ki(ki-1)

(2)

簇系数代表节点城市与相邻节点所构成的网络的平均聚集程度，代表综合运输网络的广度[8].利用邻接矩阵X2，借助复杂网络专业分析软件UCINET，计算出中国综合运输网络的簇系数C=0.677，表现出很强的集聚性.

中国综合运输网络具有小的平均路径长度和大的簇系数，表明该网络具有小世界网络特征.也就是说，尽管中国综合运输网络本身很大，但是在网络中任意两个节点之间存在相对较短的路径.

2.5 中国综合运输网络“介数及分布”的实证研究

一个节点的度值可以从一个角度反映出这个节点在所在网络中的重要性，但是度值不能完全反映出某一个节点在网络中所处的地位和扮演的角色.节点u的介数是指网络中经过u的所有最短路径的数量，见式(3).它反映了节点u对其他节点之间联络的控制作用[9].

(3)

式中：Sij为(i，j)之间最短路径的集合.

在综合运输网络中，一个节点城市的介数越大表明该城市中转的能力越强，在综合运输网络中的地位越重要.利用邻接矩阵X2，借助复杂网络专业分析软件UCINET，计算出介数排名前30的城市见表3.

由表3可知，介数排名靠前的城市多为我国的省会城市，这些城市在“本省地级市与外省城市的连接”中发挥了重要作用.

表3 中国综合运输网络中介数排名前30位的节点城市

3 中国综合运输网络的鲁棒性分析

3.1 综合运输网络鲁棒性的内涵

综合运输网络的鲁棒性是指网络对来自于外界的各种影响的阻抗性能.一般可以用网络中部分节点城市陷入瘫痪后，综合运输网络连通性来反映[10].如果某个节点城市因各类突发事件陷入瘫痪，意味在网络中同时取消了与该节点城市相连的所有的线路，从而有可能使得综合运输网络中其他节点城市从网络中分离出去.如果在移走部分节点城市后综合运输网络中绝大部分节点仍是连通的，那么就称综合运输网络的连通性对节点城市的故障具有较强的鲁棒性.

在一定的连通性水平下，可取消的节点城市越多，综合运输网络的鲁棒性就越强；反之，则越差.鲁棒性直接反映了综合运输网络的稳定状态以及对突发事件的兼容能力，是网络整体性能的关键指标之一[11].

3.2 综合运输网络鲁棒性的度量指标

1) 连通鲁棒性的度量指标 连通鲁棒性是指网络连通状态对去除一定数量的瘫痪节点的阻抗程度.一般用“最大连通子图的相对大小(s)”和“瘫痪节点数占综合运输网络节点总数的比例f”的相对关系来反映.

“最大连通子图”是指网络中包含节点最多的连通图.“最大连通子图”越大表示网络连通性越好，当“最大连通子图”与网络节点数相等时，表明网络中所有节点间都是相互连通的.

“最大连通子图的相对大小”的计算方法为[12]

(4)

当综合运输网络受到外界干扰时，部分节点可能陷入瘫痪而失去原有的服务功能；随着陷入瘫痪的节点的不断增加，综合运输网络中的“最大连通子图”将不断减小，甚至会形成数个孤立的子网络.当一定时，s值越大，表明综合运输网络的连通鲁棒性越好.

2) 功能鲁棒性的度量指标 功能鲁棒性是指综合运输网络的流通功能对去除一定数量的瘫痪节点的阻抗程度.经济、便捷、快速的实现物资流通是综合运输网络的基本功能,因此，可用“平均路径长度l”作为综合运输网络的功能鲁棒性的度量指标.其中，“平均路径长度l”平均路径长度则是指网络中所有节点对之间的最短线路数量的平均值.应用Ucinet软件和邻接矩阵X2，可计算出综合运输网络的平均路径长度为2.498，即在综合运输网络中任意两个节点平均只需要进行2.5次中转即可到达.

3.3 中国综合运输网络鲁棒性的仿真系统设计

1) “随机干扰型”仿真系统设计 “随机干扰型”是指随机的对综合运输网络中的某个或某些节点进行干扰，使其陷入瘫痪状态，丧失与其他节点间进行物资流通的能力，也就是意味着将该节点和其所有的边从网络中删除.

“随机干扰型”仿真系统的设计思路是：由于存储综合运输网络数据的邻接矩阵X2的行和列中，节点城市都是按照一定的次序排列的，所以以随机数的方式，确定邻接矩阵X2的行和列受到影响的节点，并在矩阵X2中删除该节点所有的边，受到随机干扰的综合运输网络邻接矩阵记为R.不断重复上述步骤，直到网络中瘫痪节点数量达到要求，该系统的基本流程见图5.

2) “定向干扰型”仿真系统设计 “定向干扰型”是指有明确目标的对综合运输网络中的某个或某些节点按照某一次序进行干扰.

“定向干扰型”仿真系统的设计思路是：以节点的“度”或“介数”值的大小次序，作为对网络中节点进行定向干扰的次序.即根据节点“度”或“介数”值大小次序，逐个选择节点城市进行干扰，受到定向干扰的综合运输网络邻接矩阵记为Y，重复上述步骤，直到网络中瘫痪的节点数量达到要求，该系统的基本流程见图6.

图5 “随机干扰型”仿真系统流程图

图6 “定向干扰型”仿真系统流程图

3.4 中国综合运输网络的鲁棒性分析

1)f与s的对应关系分析 分别采用“随机干扰”和“定向干扰”两个仿真系统，计算684次干扰后对应的f和s值，其对应关系见图7.

图7 两种干扰模式下f与s的对应关系图

由图7可知，在“定向干扰”系统中下降的速度明显快于“随机干扰”系统；若按照度值次序进行依次干扰，当大约30%的节点陷入瘫痪后，网络便完全丧失服务功能.进一步说明：当节点因各类突发、偶发事故随机陷入瘫痪时，综合运输网络具有较强的鲁棒性，而有针对性的进行定向干扰，将对综合运输网络造成较大的影响.

2)f与l的对应关系分析 在“随机干扰”和“定向干扰”两个仿真系统，经过684次仿真干扰，f与l的对应关系见图8.

图8 两种干扰模式下f与l的对应关系图

平均路径长度l反映的是综合运输网络中任意两个节点城市间进行物资调运的中转次数.由图8可知，在“随机干扰”和“定向干扰”两种模式下，f与l的对应关系呈现出巨大差异.

在“随机干扰”模式下，l值随陷入瘫痪的节点的增加，在开始呈现出震荡形式，并且震荡幅度不断加大；这表明随机干扰并未对综合运输网络物资调运的便利程度造成显著的影响.在最终阶段l降为1.这是因为随着受干扰的节点不断增加，网络中相连的节点数量不断减少，当所有节点都彼此孤立时，l值为1.

在“定向干扰模式”下，l值呈现出先快速增加后迅速下降的趋势.表明对综合运网的便利性影响显著，后期快速下降的原因是由于网络功能的快速丧失造成的，也就是说在“定向干扰”模式下，当受到定向干扰的节点达到节点总数的35%左右的时候，网络的功能就受到了较大的影响；而“随机干扰”模式下，这一比例大约是84%左右.

通过两种模式的仿真实验表明：节点的度和介数是影响综合运网鲁棒性的重要因素；综合运网无论是网络的联通性还是网络功能都体现出对随机干扰的较强鲁棒性，也就是说各种随机发生突发、偶发类事故不会对综合运网整体造成太大的影响；但是综合运网针对定向干扰的鲁棒性较差，应针对关键节点采取适当的预防与管理措施，以保证综合运网的可靠性.

4 结 论

1) 从网络节点的度分布上看，中国综合运输网络三种邻接矩阵的其网络结构特征均表现出显著的无标度网络特征，其幂律系数介于[0.7，1.5]之间.

2) 中国综合运输网络具有小的平均路径长度和大的簇系数，表明该网络具有小世界网络特征；即在网络中任意两个节点之间存在相对较短的路径.

3) 网络中节点的“介数”与“度”值的大小存在加强的关联性，我国的省会城市的介数值普遍较大，反应了这些城市在“本省地级市与外省城市的连接”中发挥了重要作用.

4) 节点的度和介数是影响综合运网鲁棒性的重要因素；综合运网针对随机干扰的较强鲁棒性，但对定向干扰的鲁棒性较差.