高位分段累加算术

端木宁

【摘要】人们一直在寻求着一种能以心算的方式进行快速计算的方法，但传统的运算方法，对大众很难实现心算.我们不妨改变一下运算方式，把传统的由低位向高位运算，变成由高位向低位运算.虽然，本质上只是改变了运算方向，但将会出现一种意想不到的效果.这一改变使运算方向和读数方向由原来的逆向，改成了顺向一致.其有利于计算过程的记忆和计算结果的读出，最终有利于心算的实现.

【关键词】有理数运算；心算；速算方法

本文介绍采用高位分段累加计算的方法，来完成有理数的加、减、乘、除、乘方运算.旨在能运用这一方法，使大家提高运算速度，直至掌握心算技能.

我们知道一个数，如568可以把它表示为500+60+8的形式.由此可见，我们可以把任何一个3位数，按“位”拆分成若干个百、十、个和的形式.同理，我们也可以把一个任意位数的数按位拆分成相应之和的形式.那么，两个数的相加就可以表示为它们各个相同位数值和的形式.如，568+351=（500+60+8）+（300+50+1）=（500+300）+（60+50）+（8+1）=800+110+9=910+9=919.由此，我们发现两个数相加，可以从高位到低位依次先把它们相应位数值相加之后，再把各位数值相加之和从高位到低位依次累加，得出两个数相加的结果.从而，我们得出结论：任何两个数（或两个以上的数）相加减（减去一个数等于加上这个数的相反数），都可以从高位到低位，把它们相应位数值相加减，然后再把加减后的各位数值从高位到低位依次累加，得出结果.例：8896-3456+2456-2783.解：8896-3456+2456-2783=（8000-3000+2000-2000）+（800-400+400-700）+（90-50+50-80）+（6-6+6-3）=5000+100+10+3=5113（注：熟悉方法后，无须列算式，直接就可在原式中，从高位至低位读出各位上的计算结果，到末位时，最终结果也就出来了.）

这样做的目的是使一组多位数的加减运算，转化为了它们各相应位数上的个数运算，且从高位到低位依次运算，使得运算顺序与读数顺序相一致，当运算至最后一位时，最终答案也就出来了.便于记忆和心算.当掌握了这一方法后，记性好一点的人，可实现心算，即使是记性不好的，只要略做一下笔录，也能轻松地进行快速计算.

同理，在乘法运算中，我们也可以把乘式中的一个因数，表述为各个位数值和的形式，然后，再从高位到低位，分别与另一因数相乘，最后，再把所得的各位数值的积相加，得出结果.

例①：654×4=（600+50+4）×4=2400+200+16=2616.

例②：582×12=582×（10+2）=5820+582×2=5820+（500×2+80×2+2×2）=5820+1000+160+4=6984.

在乘方运算中，对2次方、3次方的乘方运算，我们可以把它先转化为乘法运算，再按乘法运算的方法进行.对高次方的乘方运算，可以先把它们转化为简单次方后，再分段运算，最后累加出结果.

例①：18的平方可转化为182=18×18=18×（10+8）=180+80+64=324.

例②：18的4次方可转化为184=182×182=（18×18）×（18×18）=（180+80+64）×（180+80+64）=324×324=324×（300+20+4）=（90000+6000+1200）+（6000+400+80）+（1200+80+16）=97200+6480+1296=104976.

除法运算：把被除数根据需要拆分后再分级相除，然后再把各级商相加.

例①：567÷9=（540+27）÷9=60+3=63.

例②：598÷12=（480+108+10）÷12=40+9+1012=49+1012≈49.83.

上述方法，適用于有理数范围内的加、减、乘、除、乘方运算，并遵循有理数的基本性质和运算律.特别是在数目不是十分繁复的情况下，使用本法，更能体现出它的优越性.只要能掌握要领，且做适当练习，就能很容易实现快速心算.如今，我们虽然已经拥有了计算机这一辅助工具，但许多场合，心算技能更能显示出它的独特优势.推而广之，其意义在于这一速算方法，如果能在中小学中应用，便能提高学生的学习速度和效果；如果能在人们的生产实践、商业活动、科学实验中应用，便能提高人们的工作效率和社会效益，具有一定的社会意义.