移动荷载作用下结构弹塑性安定分析方法及其应用研究

庄妍 王孟 王康宇

摘 要：为了研究移动荷载作用下结构的安定性问题，以Melan静力型安定定理为基础，通过构造满足静力平衡条件的最佳残余应力场，并求解移动荷载作用下结构中的真实弹性应力场，发展了一种弹塑性安定性计算方法.该方法摆脱了传统安定性分析方法中的数学规划运算，解决了计算中维数障碍的问题.通过与前人研究结果对比，说明本方法的正确性.基于此方法，研究了列车荷载直接作用下路基的静力安定极限的第一类上限kI和静力安定极限kSD，进行轮载间距L和铁轨间距B对路基安定极限的敏感性分析，发现当轮载间距L和铁轨间距B大于等于10a时，轮载间距L和铁轨间距B对路基安定极限不再产生影响；通过分析材料泊松比v和内摩擦角φ对安定极限的影响，表明安定极限随着路基泊松比的增大略有减小，但随着内摩擦角的增大而有明显增加；并提出了一种基于安定极限荷载包络图的路基安定性评价方法和设计方法，据此可对铁路路基进行设计指导和安全性评价.

关键词：安定分析；铁路；赫兹荷载；Melan静力安定定理；移动荷载；弹塑性材料

中图分类号：TU4 文献标志码：A

文章編号：1674—2974（2018）07—0093—10

Abstract： An elastic-plastic shakedown solution is established for the shadedown analysis of the structure under moving loads.On the basis of the Melans static shakedown theorem，this method is developed by searching for the best residual stress field，and calculating the actual elastic stress field subjected to the moving loads.This method avoids the operation of mathematical programming in traditional method of shakedown analysis，and therefore obstruction due to large scale mathematical programming is overcome. The validity of this method is verified by comparing the results of the previous study. Based on this method，the upper bound type 1 shakedown limit kI and static shakedown limit kSD of railway subgrade are presented. A sensitive analysis is also presented， showing that the shakedown limit remains stable if the distance between the loads L and rails B is longer than 10a，so that the upper bound type 1 shakedown limit kI is shown. Meanwhile， by means of investigation on the influence of Poisson′s ratio and internal friction angle， it is found that the static shakedown limit kSD diminish marginally with the increase of Poisson′s ratio， while both the upper bound type 1 shakedown limit kI and static shakedown limit kSD experience a steadily growth with the increase of internal friction angle. A design method for subgrade is finally proposed based on the envelope diagram of shakedown limits， which can provide guidelines for design and safety assessment of railway subgrade.

Key words： shakedown analysis；railways；Hertz load；Melan′s lower-bound shakedown theorem；moving load；elastis plastic materials

高速铁路无砟轨道具有乘坐舒适、方便快捷、运输能力强等优势，因此成为铁路客运专线发展的必然选择[1].随着经济社会的发展和“一带一路”战略的提出，我国高速铁路的建设得到了快速的发展.截至2016年底，中国高铁的运营里程已经达到2.2万公里，占世界高速铁路运营总里程60 %多.国家发改委等部门出台的规划明确指出，到2025年，中国高速铁路通车里程将达到3.8万公里，并形成“八纵八横”的高铁网.2017年6月，具有完全自主知识产权的中国标准的动车组“复兴号”首发成功，最高时速达400 km/h.随着列车运行速度的不断提高，作为轨下基础的路基发挥着越来越重要的作用[2]，对铁路安全性、可靠性的要求日渐提高[3].但是现行的设计方法仍以静态或准静态为主[4]，对于路基临界应力、破坏时机、塑性应变累积、永久变形的预测都是难以确定和定义的，而在研究道路结构性能时，这些都是必要因素.安定性是对结构在变化荷载作用下塑形行为的研究.通过安定分析可以确定结构的临界安定载荷和破坏机制，为工程设计和安全评估提供准确可靠的理论依据[5].

自安定理论20世纪30年代开始建立以来，安定分析方法得到了迅速的发展[6]. 1962年，Johnson[7]利用靜力安定定理（Melan定理）求解出一个Tresca半无限空间体在移动竖向赫兹荷载作用下的安定极限.1984年，Sharp等[8]首次把安定理论引入到了道路工程领域，他们把道路问题简化为一种平面应变问题，运用静力安定定理对Mohr-Coulomb材料在循环移动荷载下的变形趋势问题进行安定分析.其后，国内外许多专家学者提出，利用安定理论分析交通荷载引起的公路和铁路结构动态响应以及永久变形，可改进设计方法，从而达到降低维修成本的目的.1995年，刘启跃[9]提出应以钢轨的安定极限值代替钢轨的弹性极限值作为钢轨的许用极限值.2010年，Francois等[10]研究了交通荷载引起的小幅循环荷载对道路结构产生的永久变形和破坏.2014年，Fang等[11]将道路结构简化为层状饱和半空间上的薄板，揭示了路面柔性和支撑层特性对路面系统响应的影响.2016年，Li等[12]基于安定理论建立计算有砟轨道永久变形的数值模型.

目前通用的安定性计算方法是采用数学规划技术，用这种方法，当单元比较多或载荷空间顶点比较多时，规划问题的约束条件就很多.这样就形成大规模非线性规划问题，出现所谓的维数障碍现象，使得计算量呈指数上升，内存量急剧膨胀，即使对现代计算机来说，也是件十分困难的工作，使得问题实际上不可求解[13].

以Melan静力型安定定理为基础，本文发展了一种弹塑性安定性计算方法，该方法通过求移动荷载作用下结构中的真实弹性应力场，并构造满足静力平衡条件的最佳残余应力场，获得静力安定极限的第一类上限kI和静力安定极限kSD，摆脱了传统安定性分析方法中的数学规划运算，解决了计算中维数障碍的问题.基于所发展的安定分析方法，将荷载简化为单个赫兹荷载时，本文的结果与Shiau[14]和Ponter等[15]接近，说明本文的方法是正确的.对铁路结构进行简化，研究了列车荷载直接作用下路基的静力安定极限的第一类上限kI和静力安定极限kSD，进行轮载间距L和轨距B对路基安定极限的敏感性分析；分析了材料泊松比v和内摩擦角φ对安定极限的影响，并绘制了不同摩擦角材料的安定荷载包络线.

1 经典的Melan安定性分析下限定理

Melan于1938年提出了静力安定定理（下限定理）：如果能够找到一个自相平衡的残余应力场σr ij，它与由外荷载所引起的弹性应力场共同构成一个处于屈服极限之内的应力系统，则结构是安定的[16].若外部荷载用λp表示，其中p是单位荷载，λ是无量纲因子（又称安定乘子），则静力安定理论可表示为：

根据求解所需的条件，易知λSD≤（λⅡ，λⅢ）≤λⅠ.第二类上限λⅡ和第三类上限λⅢ不考虑残余应力的屈服条件，因此对残余应力没有一个上下界的约束，求解将会变得特别困难.所以本文仅对λSD和λⅠ进行求解.

2 基于静力安定定理的弹塑性安定分析方法

根据Melan定理，要求解静力安定极限，就必须找到一个符合条件的残余应力场.Hills & Sackfield[20]提出，可能存在不同的符合条件的残余应力场，这些不同残余应力场都可以得出同样的安定极限.而求解的安定极限的精确度便取决于所构造的残余应力场与真实残余应力场的差值.根据勒沙特里（Henri Louis Le Chatelier）平衡原理[21]，结构总是以一种最佳的方式去抵抗外界的作用，所以，在屈服后的变形过程中完全有可能塑造出最佳的残余应力场，而关键问题在于如何分离出这个最佳的残余应力场.

2.1 荷载定义

交通荷载是常见的移动荷载，工程上对单个车辆轮载的模拟常采用赫兹荷载分布形式[9]（如图1所示）：

2.2 弹性应力场求解

Hamilton[22]给出了赫兹荷载作用下半无限空间任意一点（x，y，z）应力的解析公式，因此，半空间体表面受N个轮载作用时，空间中每一点的弹性应力由每个赫兹荷载产出的应力叠加而得到.

假设第i个荷载作用点（xi，yi，0）空间三维结构中每一点（x，y，z）的弹性应力分别由竖向荷载和切向荷载独立作用并相互叠加，即：

2.3 残余应力场

假设材料是均匀且各向同性的，因此沿着移动荷载前进方向（x-方向）的残余应力和塑性变形分量应与坐标位置无关.Yu等[23]假设在运动荷载作用下的临界面为x - z平面（即与y = 常数），在这样的平面上，对静力安定极限有影响的残余应力分量只有σr xx.Johnson[24]、Kapoor & Johnson[25]、Collins & Boulbibane[26]等指出，在对称荷载作用下，切应力σr xz关于x轴是反对称的，因此在x = 0处，σr xz = 0，而切应力σr xz又与x坐标位置无关，所以切应力σr xz对安定极限没有影响.当然，y-方向存在不为零的应力分量σr yy.Shiau[14]利用数值模拟的方法，考虑σr xx和σr yy的残余应力场计算得到了静力安定极限.Wang等[27]利用Mohr-Coulomb屈服准则时，将σyy = λσe yy + σr yy考虑为中主应力，从而只考虑了残余应力场分量σr xx对安定极限的影响，得到了与Shiau相似的结果.

因此，列车荷载作用下路基中总应力场由式（8）给出：

2.4 弹塑性安定性分析方法

应用Mohr-Coulomb屈服准则，结构中各点的屈服方程为：

3 应用研究

选择不同p0作为单位荷载可以得到不同形式的安定极限乘子λ，但对于同一结构，不同安定极限乘子所指的是同一个安定极限荷载，为了消除这一影响，引入另一个量k（静力安定极限的第一类上限kI = λI p0 /c；静力安定极限kSD = λSDp0 /c.）从而将安定极限乘子进行归一化.