基于Hermite多项式插值的Bézier曲线的扩展

李喆裕 崔同勤 刘万

摘 要： Bézier曲线在计算机辅助绘图具有广泛的应用，普通的Bézier曲线仅经过起始两点，对于需要通过某一确定点的情况则需要大量计算才能确定其控制点，针对这一问题，利用Hermite多项式插值，运用承袭法构造参数方程，得到一种既能通过起始两点，也能通过任意指定点的光滑曲线。

關键词： Bézier曲线；Hermite多项式插值；计算机辅助绘图

0 引言

计算机辅助绘图目前有着广泛应用，已成为计算机辅助设计的基础。Bézier曲线已经在计算机辅助绘图中大量应用，是计算机辅助绘图中应用的最多的基本线条之一，对于普通的Bézier曲线，其经过起始两点，并通过不同的控制点，以控制曲线走向，但不经过控制点。在绘图者希望曲线经过特定点时，需要进行计算才能确定Bézier曲线的控制点，这样就加大了绘图者的运算量。针对这一问题，本文提出了可经过任意指定点的曲线。

本文以A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3） 和D（x4，y4）四点来控制曲线为例，说明曲线的确定过程。其中A为曲线的起点，D为曲线的终点，B和C为控制点。曲线在起点A处，以AB方向为切线方向，在终点D处，以CD方向为切线方向

1. Bézier曲线

1.1 Bézier曲线的建立

构造的曲线不需要经过所有的点，在起点和终点确定之后，通过选取一些控制点，由这些控制点来调整曲线的变动情况，这就是Bézier曲线。[1]

三阶Bézier曲线的一般方程为

………………..（1）[2]

将Bézier曲线的方程参数化，三阶Bézier曲线必为三次方程，将其系数替换后，得到方程（2）

………………..（2）

2.2 Hermite多项式插值曲线绘制

若假设四个点为A（1，1），B（1，3），C（3，3） 和D（2，2）代入参数方程中。得到参数方程（3）

………………………..（3）

用MATLAB绘制图像如图1

图中曲线即为上述方程所确定的Bézier曲线，两直线为起始两点的切线。由图得，该Bézier曲线的为不经过控制点B、C的光滑曲线。

2. Hermite多项式插值构造曲线

2.1 Hermite多项式插值构造曲线

若要经过两控制点，且保证在两端点处的相切条件，需要两端点的导数值与AB线段、CD线段的斜率值相等，这就是Hermite插值问题。在Hermite插值中有两种构造方法——承袭法和基函数法，两种方法结果相同。在此处我们运用承袭法构造参数方程。Hermite多项式插值方程为

…………………..（4）

其中Ln-1（X）为Lagrange插值多项式。[3]此时n=4，H（x）的最高次幂为5，将此方程转换为参数方程（5）（式中ti，tj为定义域中的任意值）

……………….（5）[4]

可化简为一个五次参数方程组

………………（6）

2.2 Hermite多项式插值曲线绘制

将四个点A（1，1），B（1，3），C（3，3），D（2，2）代入参数方程（6）中。当ti，tj=0， ，1，时，得到参数方程（7）

……………………（7）

用MATLAB绘制图像如图2，图中曲线即为上述方程所确定的曲线，两直线为起始两点的切线。由图得，该曲线的为经过控制点B、C的光滑曲线。

当ti，tj取其它定义域中的值时，得到曲线与图中曲线完全相同。

3.两曲线关系

利用Hermite插值求得的曲线只经过A、D两点时，曲线为一个一次方程。当利用承袭法，使曲线满足起止点的相切条件时，得到Hermite插值多项式方程为一个三次方程，Bézier曲线亦为三次方程，该方程与Bézier曲线满足的条件相同，利用上面所给的数据，计算得Hermite插值多项式方程为

其与普通Bézier曲线的方程完全相同。也就是说在某些条件下，利用Hermite插值多项式得到的曲线可以转变成Bézier曲线，也可以说，Bézier曲线是Hermite插值多项式的一种特例。

总结

本文针对普通Bézier曲线无法经过中间指定点的问题，利用Hermite插值多项式构造了一种可经过任意指定点的光滑曲线。其实质是对Bézier曲线的一种限定，当无需通过指定点时，该曲线与普通Bézier曲线，即可以认为Hermite插值多项式构造的Bézier曲线是Bézier曲线的一种特殊情况。在计算机辅助绘图中，Hermite插值多项式构造的Bézier曲线既能用于不过特定点的条件，也可用于通过特定点的情况，应用范围比普通Bézier曲线更广。

参考文献

[1] 蒋尔雄，赵风光等，数值逼近[M]，复旦大学出版社，2008，49-60.

[2] 徐雨明，文双春.Bézier曲线递归分割算法的研究[J].衡阳师范学院学报，2007（06）：113-115.

[3] 司守奎，数学模型算法与应用[M]，国防工业出版社，2011，180-181.

[4] 刘国祥.参数型拉格朗日插值公式[J].赤峰学院学报（自然科学版），2016，32（07）：21-22.