改进经验小波变换的齿轮箱故障诊断新方法与应用

王昌明，张 征，李 峰，鲁聪达

(1.浙江工业大学 机械工程学院，杭州 310014；2.宁波双林汽车零部件股份有限公司，上海 201799)

齿轮箱的振动信号多为多分量的调幅调频（AM-FM）信号，而AM-FM信号中又饱含故障信息，因此在齿轮箱故障诊断中，基于HILBERT变换的解调分析方法得到广泛的运用，但对于多个分量相加信号直接解调容易造成误诊[1]。为了避免误诊断，提高故障诊断的成功率，在齿轮箱诊断的实际使用中，常常进行带通滤波后再对信号进行解调分析。直接构建带通滤波需要设置上下截止频率来提取有限带宽，具有较强的经验性，并且不一定能够获得有效单分量的AM-FM信号。因此，利用具有自适应性的信号分解方法来构建带通滤波器组，提取具有单分量的AM-FM信号成为广泛的做法。其中小波及小波包具有带通滤波的特性得到广泛的应用[2]；经验模态分解（Empirical Mode Decomposition，EMD）是一个完全由数据驱动的自适应信号分解方法[3]，通过提取本征模态函数（Intrinsic Mode Functions，IMFs）的方式获得分量信号。EMD/EEMD在齿轮箱故障诊断上有很多应用方式[4–6]，对获得的IMFs进行解调分析是其中比较成功的方式[7]。

经验小波变换（Empirical Wavelet Transform,EWT）是Gills[8]在2013年提出的一种新的自适应信号处理方法，该方法通过提取频域极大值的方法对信号的Fourier谱进行自适应地划分，然后构造一组小波滤波器组，从而提取出一组具有紧支撑结构的单分量AM-FM信号。EWT方法很好地继承小波变换的理论严谨性以及EMD方法的自适应性。不存在小波变换的小波基确定后缺乏自适应性的缺点，相较于EMD方法也不存在模态混叠和计算量大的问题[9]。因此EWT方法能够很好地运用于齿轮箱的解调分析[10–11]。

1 EWT的基本概念

EWT的基本过程是：在信号的频域内，通过提取频域极大值点对信号的Fourier谱进行自适应性的划分，然后自适应的构建正交小波滤波器组，充当带通滤波器，从而提取该信号不同的具有紧支撑Fourier频谱的AM-FM信号成分。

1.1 确定频带边界与频带中心角频率ωn

首先对信号的Fourier频谱进行划分，规定规范化的信号频率范围为[0,π]。设x(ω)为信号x(t)的Fourier变换，ω∈[0,π]。假如信号的单分量成分数量为N，而求得的极大值数量为M，则有一下两种情况：

(1)若M≥N，即极大值的数量比期望的单分量成分多，则从大到小取M中的前N-1个极大值；

(2)若M＜N，即极大值的数量比期望的单分量成分少，则保留所有极大值，并对单分量成分数量进行重置。

在确定分量个数之后，将频率范围为[0,π]的Fourier频谱划分成N个带宽不等的连续区间，那么需要确定N+1条边界线，其中0和π分别为第一条和最后一条边界线，则还需要确定N-1条边界线。过ωn所在点作相邻两个区间的分界线，每段可以表示为，以每个ωn为中心，宽度为Tn=2τn定义了一个过度段，τn=γωn，由此可知。而在实际信号分解过程中ωn选择的是信号Fourier谱两个相邻极大值之间的中点或者极小值点。

1.2 带通小波滤波器组的构建

在确定分割区间Λn后，对Λn加小波窗，根据Meyer小波的构造方法，其经验尺度函数ϕn(ω)和经验小波函数ψn(ω)定义如下

其中过渡函数β()x为

根据经典小波变换的构造方法构造经验小波，其细节系数与近似系数分别为

1.3 经验小波变换

由小波理论，经验模态函数xk可表达为如式(5)和(6)(‘*’表示卷积)

信号的重构结果如式(7)所示

由EWT的基本概念可知：EWT获得分量信号成分是否单一很大程度上取决于单分量数N值的预设以及Fourier频谱的自适应性划分。如果采用“locmaxmin”方式来进行边界检测，检测的边界即为两个极大值之间的极小值处。因此，如果频谱的极大值在某一个频率段过于集中，很容易造成该频率段划分过于细致而大部分其他频率段得不到合理划分。对于齿轮箱的故障信号来说，则调制的边频带将很容易被划分到不同的分量中，导致频谱划分不合理，不利于解调分析。此外，如果N值预设得过小，即频谱划分得太粗，模态混叠的情况同样会出现。文献[12]将Fourier谱转化成尺度空间表示，利用Otsu和K-Means的方法获得划分较为合理的Fourier频谱，该方法在文献[13–14]的转子碰摩故障诊断上取得了较好的效果，但该方法也存在计算量大的缺点。

2 仿真信号分析

齿轮箱的故障信号多为AM-FM信号，这里构造多分量的AM-FM信号

式中：n(t)为均值为零的白噪声。

仿真信号s(t)由3个AM-AF信号组成，中心频率分别为100 Hz、300 Hz和500 Hz，调制频率分别为10 Hz、15 Hz和20 Hz，为使仿真信号更加符合实际的信号，加入均值为0的白噪声。仿真信号的时域以及频域信息如图1所示。其中采样频率设置为fs=2 000 Hz，采样时间设置为1 s。

图1 合成信号

仿真信号的分量个数为3，考虑噪声的影响，这里设置模态分量估计量N=5，直接利用EWT算法对仿真进行边界检测和频谱划分，结果如图2所示。

由于分量2的频谱幅值较大，利用“Locmaxmin”进行边界检测时，检测的边界都集中在分量2中，出现了过分解现象，而分量3与分量2的一部分调制信号被混叠在一个模态中，不利于解调分析。

采用“Locmaxmin”方式来进行边界检测，检测的边界即为两个极大值之间的极小值处。因此为了避免出现极大值过于集中而造成频谱分割不合理的情况，每个分量应该以一个峰值呈现出来。这里设置检测频谱极大值之间的最小间隔为20（3个分量的最大调制频率为20 Hz），然后对检测的极大值进行“cubic”插值，构造仿真信号的频谱包络。如图3所示。

图2 EWT的频谱划分

图3 基于频谱包络的改进EWT频谱划分

通过构造仿真信号的频谱包络，3个仿真信号的分量分别以频谱包络的3个峰值呈现出来，对频谱包络进行边界检测，进行利用检测的边界再对仿真信号的频谱进行频谱划分，并未出现过分解的情况，此外对频谱包络进行极大值个数的统计，也能够对信号分量个数提供参考。为了方便对比，将Fourier谱转化成Scale-space presentation，利用K-Means的方法进行的频谱划分，结果如图4所示。

图4 基于尺度空间表达的K-means频谱划分

3个分量也未出现过分解的现象。因此，利用求取信号的频谱包络进行边界检测和频谱划分，是一个可行的EWT改进方法。并且，相对于Scale-space presentation的方法来说，该EWT改进方法在计算时间上有一些优势：在同一个计算平台上，完成计算分解改进EWT方法耗时仅为0.823 s，而基于Scalespace presentation的方法耗时为1.618 s。

3 基于频谱包络的改进EWT方法

对于仿真信号，在知道调制频率的情况下，通过设置检测频谱极大值的最小间隔可以提取信号的频谱包络，但是对于具体齿轮箱的振动信号而言，调制频率一般是未知的，因此该方法缺乏自适应性。在时域范围内，信号的包络和信号的趋势有着相似的概念，这里将时域范围内的趋势概念引入频域范围内，提出频谱趋势(Spectrum Trend)的概念。频谱趋势的估计方法与时域范围的趋势估计方法类似，只是趋势估计的对象由信号的时域变为信号的频域。提取信号趋势的方法有很多学者进行了研究，其中利用EMD算法来提取信号的趋势是一种自适应性的方法[15]。具体过程如下：对信号的频谱进行EMD分解得到若干IMFs以及残余，通过对最后部分IMFs以及残余进行重构即可获得信号的频谱趋势。经过实验研究，一般利用最后4个或5个IMFs与残余进行重构能够获得比较合理的频谱趋势。

利用频谱趋势对EWT算法进行改进，具体流程如图5所示。

图5 改进EWT算法流程图

首先对信号进行Fourier变换，获得信号的频谱，利用EMD算法提取信号的频谱趋势，统计频谱趋势中极大值(或波峰)个数M，设置N=M，即预设模态分量个数为频谱趋势中的极大值个数，此外对频谱趋势进行边界检测，检测的边界被用来对原信号的频谱进行频谱划分，最后构造经验小波进行经验小波变换，分解得到M个模态分量。由改进算法流程可知，利用频谱趋势对EWT算法的改进主要为分量个数的估计和频谱边界的划分。该改进方法能够很好地避免EWT算法中，检测的边界过于集中在频谱中幅值较大的频段的问题。

4 基于改进EWT的齿轮箱故障诊断

齿轮箱故障实验数据来源于双林集团专利号为ZL 200620106505.7的汽车座椅中置水平驱动器(Horizontal Driving Machine，HDM)。如图6所示。

图6 汽水平驱动器

电机通过软轴与蜗杆连接，蜗杆与涡轮啮合形成减速机构，而涡轮与丝杠啮合形成螺栓螺母副，丝杆两端固定，驱动齿轮箱沿丝杠前后移动，从而带动座椅水平前后移动。图7为HDM在振动试验台上的安装图，整个试验台模拟座椅水平前后移动的过程。其中，蜗杆头数为2，涡轮齿数为17，电机输入转速约为3 250 r/min，计算得到涡轮蜗杆转动频率分别为6.35 Hz和54 Hz，啮合频率为108 Hz，其中采样频率设置为5 120 Hz。

图7 HDM振动检测试验台

采集的HDM振动时域信号如图8(a)，频谱如图8(b)所示。

利用EMD算法提取HDM振动信号的频谱趋势(最后5个IMFs和残余被重构)如图9中的‘solid’线所示，为了清楚地显示，频谱趋势的幅值被乘以2。

图8 HDM振动信号

检测到频谱趋势中有11个极大值点，因此预设模态分量数量N=11，利用频谱趋势进行边界检测，利用检测的边界对HDM振动信号的频谱划分如图9中竖直的‘dash’线所示。

图9 HDM振动信号的频谱趋势

频谱趋势能够很好地反映齿轮箱振动信号频谱的整体形态变化趋势，利用频谱趋势划分的频谱分布更为合理。分解的11个模态分量的频域图如图10所示。

作为对比，给出的原EWT算法(N=11)划分的频谱如图11所示，不难发现，检测的边界均集中在频谱中幅值较大的频率段，大部分的频段未得到合理划分。此外在图11的细化图谱中，不难发现有部分仅仅将一个频谱峰值分割出来的现象，因此很难进行故障诊断。

改进EWT算法分解的11个模态分量中，分量3和分量7包含的故障信息最为丰富，因此对其进行解调分析，解调的结果如图12所示。

图10 改进EWT算法分解的11个模态分量

图11 HDM振动信号EWT频谱划分

图12 分量3和7的包络谱

图13 蜗杆齿面磨损

可以很容易地提取到54 Hz左右的调制频率，即蜗杆转频为调制频率，因此诊断为蜗杆故障。图13为解体的HDM齿轮箱，发现蜗杆齿面存在明显的磨损，与诊断结果相符。

5 结语

通过仿真信号和汽车座椅水平驱动器实验研究，说明基于频谱趋势(频谱包络)的改进EWT方法能够有效地提取AM-AF信号，解决了同一分量的AM-AF信号容易被原始EWT分解到不同的分量信号之中的问题，有利于解调分析提取故障信息。此外利用频谱趋势中极大值的个数也能够有效解决EWT算法中模态分量估计的问题。相对于基于尺度空间表达采用K-means方式来进行频谱划分，改进的EWT方法能够在分解得到较好分量信号的情况下，大大缩短计算时间。因此，基于频谱包络的改进方法为经验小波变换在齿轮箱故障检测运用方面，提供了一个新的思路。

致谢：

宁波双林汽车零部件股份有限公司王玉强工程师给予实验上的帮助。