浅谈Banach不动点原理与应用

王涛 廖雷

摘要：Banach不动点定理是度量空间理论的一个重要工具。本文介绍了泛函分析中的Banach不动点原理在解决线性方程组解的存在问题时的应用，在证明数值分析中迭代法原理的应用。

关键词：Banach；不动点；迭代法

一、预备知识

定义1：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数a，0

定理1：（Banach不动点原理）：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点，即方程Tx=x，有且只有一个解。

定理2：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，对所有x，y∈X，成立d（Tx，Ty）≤ad（x，y），对任意x0∈X，定义xn=Txn-1，则存在唯一不动点x*，使得xn→x*，且

d（xn，x*）≤ d（xn，xn-1）≤d（x1，x0） [1]。

二、Banach不动点原理的在数学其他学科中的应用

（一）不动点原理在解决线

对方程组AX+b=X，其中X=（x1，x2，…，xn）T∈in，A=（aij）n×n，b（b1，b2，…，bn）.对in取范数‖x‖2=|x1|.下面使用Banach不动点原理讨论此方程组在系数满足什么条件时，存在唯一解。

（二）Banach不动点原理在证明数值分析中的迭代法的应用

定理3：迭代法不动点原理 设映射g（x）在[a，b]上有连续的一阶导数，且满足：（1）封闭性：对x∈[a，b]，有g（x）[a，b]。（2）压缩性：L∈（0，1），使得对x∈[a，b]，|g（x）|≤L则g（x）在[a，b]上存在唯一的不动点X*，且对x0∈[a，b]，xk=g（xk-1）收敛于X*，且|x*-xk|≤|xk-xk-1|≤|x1-x0|有使用Banach不动点原理对推论证明：

由原理内容知，g（x）是[a，b]到[a，b]的线性映射；R和[a，b]均完备；条件（2）等价于g（x）为压缩映射。

以上可知，必存在X*∈[a，b]，对x0∈[a，b]，xk=g（xk-1），有xk→X*

（三）Banach不动点原理在数列极限中的应用

定理4 对数列{xn}，若存在常数r：0

例，设x1>0，xk+1=（c>1）为常数，求xn.

解：构造函数f（x）=，显然f（x）在（0，+∞）连续可导。因xn>0，当x>0时f（x）=（）=>0.且由c>1知f（x）=（）≤=1-<1.

故xn+1=f（xn）为压缩映射。由定理1知{xn}收敛.

设xn=X*，又f连续，即有x*=f（x*）从而x*=，得x*=，即xn=

（四）Banach不动点定理在方程解的存在性与唯一性方面的应用

定理5 设函数f（x，y）在条形区域a≤x≤b，-∞

证明 在完备空间C[a，b]中作映射A：Aφ=φ-（1/M） f（x，φ），这是C[a，b]到自身的压缩映射。事实上，对于φ1，φ2∈C（a，b），由微分中值定理有0<θ<1使得

|（Aφ1）（x）-（Aφ2）（x）|

=|φ2（x）-f（x，φ2）-φ1（x）+（1/M） f（x，φ1）|

=|φ2（x）-φ1（x）-（1/M）fy[x，φ1（x）+θ（φ2（x）-φ1（x））]（φ2（x）-φ1（x））|≤|φ2（x）-φ1（x）|（1-m/M），x∈（a，b）

令a=1-m/M，則 0

|（Aφ1）（x）-（Aφ2）（x）|≤a|φ2（x）-φ1（x）|，

即有|Aφ1-Aφ2|≤a|φ2-φ1|

这说明A是C（a，b）中的压缩映射，故有唯一的φ∈C（a，b），使得Aφ=φ，这就说f（x，φ（x））=0，a≤x≤b。

作者简介：

王涛（1992年—），男，汉族，四川巴中人，硕士，成都理工大学管理科学学院，研究方向：双差定位。