函数极值和最值间的区别与联系

摘 要：在实际问题中，常常会遇到为了发挥最大的经济效益，要求在一定的条件下，提高生产效率，降低成本，节约原料，以达到利润最大化，费用最省；或施工中受污染程度最小等问题。解决这类问题就需要用到函数的极值和最值的知识。而这两个概念非常接近，学生在学习过程中经常混淆，区分不开。本文深入分析函数的极值与最值概念间的区别与联系，以及求解极值与最值的步骤，从而找出学生易于理解的方法。

关键词：函数的极值；函数的最值；区别与联系

Abstract：In the actual problem， often encountered in order to maximize the economic benefit，under certain conditions， improve the production efficiency， reduce costs， save raw materials， to achieve the profit maximization， cost of the province； Or the minimum pollution level of the construction. Solving these problems requires the use of the extremum and the best knowledge of the function. These two concepts are very close to each other， and students are often confused during the learning process. In this paper， the difference and relationship between the extreme value of the function and the most value concept are analyzed in this paper， as well as the steps to solve the extremum and the most value， so as to find out the method which the students can understand easily.

Key words：The extremum of the function； The most value of a function； Differentiation； linkage

实际生活中，往往需要解决利润最大化，容积最大，费用最省，或施工中受污染程度最小等问题。掌握好函数的极值和最值的知识就可以很好的解决这类问题。下面深入分析函数的极值与最值概念间的区别与联系，便于学生分清这两个概念。

1 极值与最值的概念

（1）函数的极值。

定义设f（x）在x0附近（即x0的邻域内）有定义，且对于x0附近任意x（x≠x0）都有：f（x）f（x0）成立，则此时y极小值=f（x0），f（x0）为极小值，x0为极小值点。函数的极大、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。

（2）函数的最值。

设函数y=f（x）定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意x∈I，都有f（x）≤M（或f（x）≥M）成立，则称M是函数y=f（x）的最大值（或最小值），记作ymax=f（x）=M（或ymin=f（x）=M）。

2 极值与最值的区别

（1）研究范围的不同。

极值是一个局部的概念，研究的是小范围，即某个点x0的邻域内，是通过比较极值点x0附近的函数值得出的，只能说明f（x0）与点x0附近的函数值比较（这个小范围内）是最大或最小；最值是一个整体的概念，研究的范围是整个定义域，是比较整个定义域内的函数值得出的，说明此时的函数值在整个定义域（这个全体中）是最大的或最小的。

（2） 数量的不同。

从数量的角度，若一个函数在开区间有极值，则函数的极值不一定是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以有多个；而一个连续函数在闭区间上最值的个数是唯一的，只能有一个最大值或一个最小值。

（3）大小的不同。

极大值与极小值之间无确定的大小关系，因为极值的个数可以有多个，所以一个函数的极大值不一定大于极小值，有可能出现极大值比极小值还要小；而连续函数在闭区间上，最大值一定大于最小值。

（4）位置的不同。

根据极值的判定定理，若函数在某个点x0的左侧到右侧，对应的函数值先增大后减小，则在x0处取得极大值，若函数在某个点x0的左侧到右侧，对应的函数值先减小后增大，则在x0处取得极小值。在x0的左右两侧都需要有定义，所以极值点一定出现在定义域的内部，定义域的端点不能成为极值点，因此，求解极值时不需要考虑端点值。

而使函数取得最大值、最小值的点可能在定义域的内部，也可能在定义域的端点，端点处也可以取得最大或最小值，因此求解最值时一定要考虑到端点值，否则会判断错误。

3 极值与最值的联系

若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上连续，则必存在最大、最小值，而最值只可能在极值点或者端点处取得，这就是极值与最值的联系。

因此求解最值的方法首先就是要求出区间内使f'（x）=0（称为驻点）及f'（x）不存在的所有点的函数值（即可能出现极值点的函数值），然后计算出端点处的函数值f（a），f（b），再比较上述函数值的大小，其中最大的就是y=f（x）在[a，b]上的最大值，最小的就是函数在[a，b]的最小值。

在利用导数解决最大值和最小值实际问题时，若所建立的函数f（x）在区间（a，b）内可导且存在唯一极值点x0，（即现实生活中的“单峰问题”），若f（x）在（a，b）内必定有最大值或最小值，那么这个唯一的极值f（x0）就是所求的最大值或最小值.

4 总结

函数的极值与最值仅一字之差，却存在着很大的区别与联系。因此在授课过程中首先讲解概念，让学生分清二者研究范围的不同，然后为了进一步加深印象，结合图像，在同一个函数图像中，让学生自己上黑板分别标出极值点与最值点，数出有几个极值点，几个最值点，就可以使学生很明显的发现极值与最值在个数上的区别，再让学生自己试着归纳，然后教师再加以总结。如果把连续函数比作一座连绵的山脉，那么这座山脉可能有好几个山峰，相当于有好几个极大值，好几个山谷，相当于好几个极小值；而几个山峰中最高的山峰只能有一个，相当于只有一个最大值，几个山谷中最低的山谷也只有一个，相当于一个最小值。这样讲解使学生对定义的理解更形象，记忆更深刻，能够更清楚的认识二者的區别。

参考文献：

[1]张杰，等.高等数学[M].北京：北京邮电大学出版社，2016.

作者简介：董晓红（1983-），女，内蒙古包头人，理学学士，讲师，主要从事高等数学的教学与研究工作。