也谈数学概念教学

苏艺伟　张兵源

摘 要：以《函数的概念》为案例，运用建构主义理论和APOS方法进行概念教学，能够较好地从整体上把握概念，实现概念教学的效益最大化.

关键词：建构主义；APOS；函数概念

数学概念是客观对象的数量关系和空间形式的本质属性的反映，是导出全部数学定理、法则的逻辑基础可以说，整个高中阶段对数学的学习最重要的就是对数学概念的学习只有掌握了数学概念，才能形成知识，掌握技能，形成基本思想，促进思维发展就像建一座高楼，只有基础打扎实了，楼房才会建得高和稳《普通高中数学课程标准》（实验）指出：教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解因此，数学概念教学在整个高中数学教学中有着重要的基础性作用

在现实教学中，很多老师对概念教学并没有真正重视起来在课堂上，经常有老师对概念进行简单的叙述，然后通过做题目来加深学生对概念的理解与应用这样的概念教学存在如下缺点：（1）缺少必要的情境引入，既不能激发学生学习的原动力，也使得概念教学显得生硬；（2）缺少概念的生成过程，使得学生丧失了思考，探究的思维过程，严重阻碍学生思维能力的发展和提升；（3）学生无法真正理解概念的内涵和外延，无法形成数学概念体系造成上述错误概念教学的主要原因有：（1）教师不了解学生的认知心理，学习能力和学习风格；（2）教师没有透彻地理解概念，回避概念的深入讲解；（3）缺乏相应的概念教学理论知识和指导，对概念教学的定位不准确等

基于上述数学概念的重要性以及现实教学中存在的概念教学问题，应该如何较好地进行数学概念的教学？笔者认为首先要弄清楚数学概念教学的理论依据；其次应该掌握具体的概念教学的方法：APOS理论

一、数学概念教学的理论依据

建构主义认为，学习是学习者根据已有的知识经验主动建构新知识的过程学生的学习涉及同化和顺应两个基本过程同化是指学生把新授知识整合到自身已有认知结构的过程；顺应则是指在新授知识的促动下，原来的认知结构发生变化，进一步平衡与完善的过程学生的认知结构就是在同化与顺应的过程中建立起来的，在一系列的“平衡——不平衡——重新平衡”中达到认知结构的不断提高和完善

比如有理指数幂概念的学习，通过对整数指数幂和有理数构成的回顾与复习，引发学生思考“指数幂的发展是否到此为止”该问题提出后，虽然此时尚未学习有理指数幂的概念，但学生已经产生了“指数幂可以从整数指数幂推广到分数指数幂，进而完善有理指数幂概念”这一感知，那么有理指数幂概念自然地被同化到学生原有指数幂概念中通过对根式的学习以及根式可以转化为分数指数幂的学习，学生原有的认知结构受到冲击，为了达到知识结构的进一步平衡，“指数概念可以由整数指数幂向有理数指数幂扩展”就自然地被纳入到学生的知识体系，这就是一个顺应的过程

建构主义理论反映出学生学习数学概念的特点学生对数学概念的学习以及数学概念体系的建立就是在一系列旧知与新知的同化和顺应过程中实现的因此，数学概念教学必然遵守建构主义理论，它是以学生为主体，经历引入、概括、分析、应用等程序，把新授概念利用同化或顺应的方式，在概念自身内在的，概念与概念之间的联系的指引下，逐步完善自身认知结构，形成概念体系的过程

二、数学概念教学的具体方法——APOS理论

有了正确的理论指导，教师还要选择恰当的教学方法来实施概念教学数学概念的教学一般可以按照“感觉—知觉—表象—概念”的认知規律来进行，让学生形成新的概念图式美国的杜宾斯基等人建立的针对学生数学概念学习的APOS理论强调，学生学习数学概念是需要心理建构的，这一建构过程经历四个阶段：Action（活动）—Process（过程）—Object（对象）—Scheme（概型），简称APOS理论

第一阶段—活动阶段：这是概念的引入阶段.教师必须认真分析所授概念的具体内容与其在概念体系中的位置，结合学生的学情和认知规律，设置出合适的情境或者活动，以此让学生亲身经历，主动建构，从而对所授概念形成较直观的理解也就是说，活动阶段是学生通过一系列外显性的指令去改变数学对象的过程，它是获得数学概念的一个必要条件

第二阶段—过程阶段：这是概念的定义阶段.它是在对活动阶段进行思考的基础上，通过抽象得出概念的若干本质特征，从而初步形成数学概念的一般定义的过程过程阶段是对外显数学活动的进一步思考过程，当学生经过多次重复活动且被个体所熟悉后，便会在头脑中对活动进行描述，通过一系列心理操作，抽象出概念的本质特征

第三阶段—对象阶段：这是概念的分析阶段.它是对“活动”与“过程”的升华，将抽象出的概念赋予其形式化的定义及符号，使其达到精致化，成为一个具体的“对象”，并由学生主动将其纳入已有概念体系的阶段

第四阶段—概型阶段：这是概念的运用阶段.它是“对象”阶段中概念本质和概念体系进一步的理解，揭示和实例化概型阶段并不仅仅靠几个例题来完成，它既包括活动阶段的特例，过程阶段的抽象，对象阶段的定义及符号，也包含概念体系的建立，还包括在运用过程中产生新的理解，新的联系，甚至它还能成为更新概念的建构材料“概型”最终要形成综合的心理图式，因此，概型阶段也称为图式阶段

APOS理论和建构主义理论是一致的，它更注重揭示概念的形成过程，更符合学生的认知规律和心理发展规律，将其应用到概念教学中效果更为显著

三、案例分析——人教A版必修一第一章第12节《函数的概念》

1活动阶段

复习初中函数概念：

在初中，我们对函数是这样定义的：在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，就说x是自变量，y是x的函数

问题1 上述函数概念是建立在什么观点上？有什么优点和缺点？

问题2 该定义体现出x与y有什么样的对应关系才能构成函数关系？

设计意图 （1）根据建构主义理论，学习者相关领域的知识，乃至最一般的经验背景会对新概念的形成产生影响，成为新概念的背景同时，直接与新概念有关的纯数学的基础知识也会影响到新概念的建构高一年级的学生刚刚经历了初中的学习，因此从初中知识引入不仅为新概念的学习创设情境，也使新旧知识之间建立起有机的联系，使新旧知识形成一个完整的体系

（2）问题1的设计是让学生明白初中对函数的定义是建立在运动与变化的观点上，这样的定义较为直观、简捷，适合初中生的思维但是显然该定义缺少相关的数学符号语言，不适合高中的数学化定义，从而让学生意识到必须对函数的概念重新定义以满足高中的需求此时，学生会积极思考：高中对函数的定义应该是什么？从而将学生的思维引入下面的“过程阶段”问题2的设计是要让学生理解定义中“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应”这句话的真正含义，也就是要让学生明白并不是所有的对应关系都可以构成函数关系，只有满足“一个x对应一个y”或者“多个x对应一个y”才能构成函数关系，这为后面“图式阶段”的学习打下一个坚实的基础

2过程阶段

多媒体展示课本中的三个实例（详见课本第15页）：

问题3 上述三个实例有何不同点和相同点？

设计意图 （1）从学生熟悉的实际问题出发，由感觉过渡到知觉同时让学生懂得数学并不仅仅是课本知识，更是现实生活的一环，它来源于生活，也为生活服务多媒体的使用，让课堂更加生动直观，激发学生学习的兴趣

（2）对每个实例的讲解，都从集合A中找出若干个特殊值，然后引导学生发现在各自对应关系的作用下，在集合B中都有唯一确定的值与之对应，为归纳总结共同特征做好铺垫

（3）通过三个具体的例子，引导学生得到共同特征：第一，都有两个非空数集A和B；第二，从数集A到数集B都有一个明确的对应关系，实例1中的对应关系是一个表达式，实例2中的对应关系式是一个图象，实例3中的对应关系是一张表格；第三，在确定的对应关系下，数集A中任意一个数在数集B中都有唯一确定的数与之对应这些共同特征的讲解为“对象阶段”概念的精致刻画做好准备，并引出课题函数的概念，让知觉过渡到表象

（4）本环节的设计重点是“重复”（三个实例的讲解实际上就是一个重复的過程，只是例子不一样）和大部分数学概念的形成一样，函数概念的形成也需要经历一个抽象的过程，而形成抽象的基础就是不断的“重复”和操作

上述两个活动阶段，以初中知识和现实生活中的例子来激活背景图式，为新概念的建构做出了必要的知识准备和心理准备而要使新概念得到有效合理的建构，还有赖于学生积极主动地探索和思考教师可以设计引导学生思考问题情境，让学生积极思考，自主探究，并对已有知识进行迁移，提炼出函数概念的本质特征，初步建构新的认知结构

3对象阶段

问题4 如何用数学符号语言刻画函数的概念？

设A，B是两个非空的数集，按照某种确定的对应关系f（如实例中的表达式、图象、表格），使得A中任意一个数x，在B中都有唯一确定的数fx和它对应.则称f：A→B为从数集A到数集B的一个函数，记作y=fx其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域与x相对应的fx叫做函数值，函数值的集合fxx∈A叫做函数的值域

设计意图 （1）对象阶段是给抽象出来的概念本质和特征赋予形式化的定义和符号，使其成为一个具体的“对象”将函数的概念作为一个新的对象来认识，对其进行形式化的表述，这是“对象”阶段应该达到的目的学生在经历了活动阶段和过程阶段的学习后，函数概念“呼之欲出”，此时抛出问题4显然水到渠成

（2）本环节将表象过渡到概念，逐层呈现、深化，形成了完整的“函数的概念”的概念图式，便于学生在不同背景下提取信息，为将来在更多领域（如求函数的定义域，判断两个函数相等，求函数的解析式等方面）的应用打下坚实的基础