点到直线、两平行线间的距离公式

刘彦江 赵欣庆 张文斌 丁冬彦

摘 要：利用几何画板软件作图，用向量思想方法求解点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式，直观、准确地展现了数学知识之间的交叉渗透，体现了数学美.

关键词：构图；向量；距离公式

笔者基于几何画板软件探究出了“点到直线、两平行线间的距离公式”一课.以下为课堂实录，仅供参考.

一、点到直线的距离公式

几何画板展示构图：

1.新建画板，建立平面直角坐标系.在x轴上任取点H；在y轴上任取点I.过H作x轴的垂线与过I作y轴的垂线交于P0.作线段HP0、线段HP0.隐藏垂线.

2.在x轴上任取点J；在y轴上任取點K.构造过J、K两点的直线l.在直线l上任取点E，过点E作直线l的垂线，在垂线上任取点F（在直线l的右侧），构造直线的法向量.构造射线EF，隐藏垂线.

3.在直线l上任意取一点P，构造向量.图形如右：

4.拖动点J、K，使直线l在点P0的左侧.过点P0作射线EF的垂线交EF于点G，构造向量的投影EG.

5.拖动点P0，观察投影EG的变化.

新建文件夹，将“未命名1”存入.

板书：点到直线的距离公式：

在平面直角坐标系中，如果已知某点P0的坐标为（x0，y0），直线l的方程为Ax+By+C=0（A>0，B≠0），求点P0到直线的距离.

解：如上图，设直线l的一个法向量为，不妨设为=（A，B）.设P（x，y）是直线l上的任意一点，则=（x0-x，y0-y）.

点到直线l的距离d为向量在上的投影的绝对值.

d=cos<，>=.

而·=A（x0-x）+B（y0-y）

=Ax0+By0-（Ax+By）

=Ax0+By0+C.

又=，

所以得到点到直线的距离公式

d=.

若A=0，直线l和x轴平行，直线l的方程为By+C=0，点到直线的距离公式为d=y0+=.

若B=0，直线l和y轴平行，直线l的方程为Ax+C=0，点到直线的距离公式为d=x0+=.

因此，若A=0或B=0，上式仍成立.

二、两条平行直线的距离公式

几何画板展示构图，其“脚本”如下：

1.新建画板，建立平面直角坐标系.在x轴上任取点H；在y轴上任取点I.构造过H、I两点的直线l′.

2.在y轴上任取点K，过点K作直线l′的平行线l″，在直线l′上任取点E，过E作直线l′的垂线，在垂线上任取点F（在直线l″的右侧），构造直线的法向量，构造射线EF，构造EF与直线l″的交点G.

3.在直线l′上任取点P1，直线l″上任取点P2，构造向量.构造向量的投影EG.

4.鼠标拖动点P1、P2，观察投影EG的大小变化情况.如右图：

另存为“两条平行直线的距离公式”.

板书：两条平行直线的距离公式：

在平面直角坐标系中，两条平行直线l′与l″的方程分别为Ax+By+C1=0，Ax+By+C2=0，（A>0，B≠0）.

求平行直线l′与l″的距离.

解：如上图，首先设直线的一个法向量，不妨设为=（A，B），设P1（x1，y1）是直线l′上的任意一点，P2（x2，y2）是直线l′上的任意一点，则=（x2-x1，y2-y1）.

两平行直线l′与l″的距离d就是向量在上的投影的绝对值.

d=cos<，>=

而·=A（x2-x1）+B（y2-y1）

=（Ax2+By2）-（Ax1+By1）

=C1-C2.

得到两平行直线间的距离公式.（板书）

本节课是向量思想方法与几何画板软件的联袂，用此法求点到直线、两平行线间的距离，直观、准确地展现了数学知识与软件教学的交叉渗透，体现了数学美.

参考文献：

方其桂.多媒体CAI课件制作实例教程[M].清华大学出版社，2003.

注：甘肃省2017年规划课题（GS[2017]GHB2552）：几何画板软件在解析几何教学中应用的研究.

？誗编辑 赵飞飞