岩石偏心圆孔单裂纹平台圆盘的动态裂纹扩展与止裂*

李 炼,罗 林,吴礼舟,王启智1,,

(1.四川大学土木工程及应用力学系,四川 成都 610065;2.重庆交通大学山区桥梁与隧道工程国家重点实验室,重庆 400074;3.成都理工大学地质灾害防治与地质环境保护国家重点实验室,四川 成都 610059;4.中铁二院工程集团有限责任公司,四川 成都 610031)

Brian等[1]认为预测材料的失效是工程中最古老的问题之一，也是解决得最不完美的问题之一。余寿文[2]把在外载荷及环境作用下，材料和构件中缺陷的受力与变形视为使裂纹起裂与扩展的推动力，比喻为“矛”；把材料抵抗裂纹扩展的能力比喻为“盾”，认为这一用断裂准则联系着的矛盾两体，决定了裂纹的力学行为，从而也就确定了构件和结构的安全及寿命。这一比喻不管对静态断裂，还是动态断裂而言都是非常贴切的。岩石动态断裂研究涉及土木、矿业、能源、军事和防护等许多工程学科，以及地质学、地球物理学等科学领域。例如，地球物理学研究地震断层的高速扩展，需要了解岩石的动态断裂力学参数及其在地震断裂带上岩性的分布。

动态断裂全过程包括裂纹的动态起裂、快速扩展和止裂过程。Das[3]认为由地震产生的地面加速度，导致了地震破裂速度的剧烈变化，从而影响地震灾害的程度，这是地震学家研究地震断裂动力学的主要动机。在另一篇文章中，Das[4]则明确表示更快的破裂速度将会导致更为严重的地震破坏，地震带来的灾害程度很大程度上与岩石破裂速度到底有多快相关，因此在进行抗震结构设计时，必须加以考虑。Robinson等[5]研究2011年的昆仑山地震，发现地震破裂起始时速度较为缓慢，加速到超剪切波速后，以接近6 km/s的速度扩展近100 km，在裂纹止裂前，速度减速扩展。在涉及到裂纹传播速度与裂纹止裂时，存在着两方面的分歧。一方面认为：裂纹止裂之前观察到了裂纹传播速度的减速[6-7]；而另一方面则观察到突然快速止裂[8-10]。Ravi-Chandar等[9]详细说明了造成这种分歧的可能原因，即实验室中实验的试样相对来说是比较小的，在裂纹扩展过程中应力波的边界反射、加载波与卸载波的相互交叉都会给裂纹尖端造成一个非常复杂的应力历程，并且会随试样构型而改变，这就可能造成观测到不同的速度历程。然而，随着实验技术的发展，更多的学者倾向于认为裂纹在止裂前存在减速的过程，但是是否由反射应力波的影响造成，其影响多大却有待更深入的研究。

在动态断裂研究中，动态应力强度因子(dynamic stress intensity factor)表征了动态断裂过程中裂纹尖端的应力应变场，为了研究脆性材料的动态断裂行为，许多学者将研究的重点放在了动态应力强度因子上。理论分析表明：裂纹尖端的应力分布与裂纹速度有关，动态应力强度因子也就与速度有关。当裂纹在以某一速度匀速扩展时，动态应力强度因子可以表示成裂纹速度的函数，Freund[10]给出了这一复杂的表达式。实验研究发现，动态应力强度因子和裂纹扩展速度之间存在一定的关系，不同的实验得到不同的结论[11-13]。Fineberg等[14]研究带裂纹板静态加载下的裂纹扩展速度，认为由于边界应力波反射的影响，线弹性动态断裂力学有局限性，在公式中引入加速度的概念。Arakawa等[15]研究静态加载下动态应力强度因子与裂纹速度的关系，发现裂纹在扩展过程中，速度有加速上升和减速下降的变化，并且同一速度对应2个不同的动态应力强度因子。Singh等[16]研究动态加载下双材料界面间的断裂过程，得到裂纹快速扩展的速度变化和动态应力强度因子的时间历程，认为裂纹速度的减速现象是由反射应力波造成的。通常，裂纹速度随着时间变化，其影响改变了裂纹尖端的动态应力场，研究裂纹的速度变化是理解动态裂纹扩展的关键。

岩石材料一般为准脆性材料，通常其抗拉强度比抗压强度要低一个数量级[17]。与金属材料不同，对岩石进行直接拉伸实验较难，因此多采用间接拉伸的方式进行实验，圆盘类试样也多用于测试岩石的动态断裂韧度[18-21]。周妍等[22-23]采用圆孔内单边裂纹平台巴西圆盘(holed single cracked flattened Brazilian disc, HSCFBD)新试样，分别对其进行了静态和动态断裂韧度的测试，得到砂岩的静态、动态断裂韧度值。李炼等[24]采用HSCFBD试样首次研究了砂岩的动态断裂全过程，实验成功检测到试样的破裂历经裂纹的动态起裂、扩展和止裂。

本文中，在采用HSCFBD试样研究岩石动态断裂的全过程的基础上，进一步研究裂纹的快速扩展与止裂过程。结合平台圆环类试样的优点，提出偏心圆孔单裂纹平台圆盘(cracked eccentrically holed flattened disc, CEHFD)这一新型试样，内圆孔偏离圆心一定距离，使其断裂带加长，增加其断裂扩展路径和检测范围，且可使止裂点远离边界减小其反射应力波相互作用带来的影响。

1 动态断裂实验

1.1 偏心圆孔单裂纹平台圆盘

CEHFD试样构型如图1所示。图中R为外圆半径，r为内圆孔半径，2β为平台加载角度。圆盘圆心为O，内圆孔圆心为O′，O与O′之间的距离为内圆孔偏离外圆心的距离，本文定义为偏心距离d；a0为预制裂纹长度；断裂带长度L=R+d-r。p(t)为动态载荷，是时间的函数。

实验中所有试样均由青砂岩材料制作，颗粒细致且紧密，如图2所示。经测定该产地青砂岩的泊松比μ=0.21，弹性模量E=17.67 GPa，密度ρ=3.055 g/cm3。膨胀波波速cd=2 551.6 m/s，畸变波波速cs=1 546.0 m/s，Rayleigh波波速cR=1 411.0 m/s。

实验选用试样的尺寸具体为：厚度B=(30±0.2) mm，R=(75±0.2) mm，r=(15±0.2) mm，a0=(8±0.1) mm，平台角2β=30°，d=(20±0.2) mm，L=R+d-r=80 mm。采用裂缝加工系统预制裂纹，选用直径为0.15 mm超细精钢砂切割线。使用塞尺测量预制裂纹宽度，裂缝宽度为0.2 mm，满足国际岩石力学学会规定的采用岩石试样测量断裂韧度对裂纹尖端宽度尺寸的要求。

1.2 实验加载装置及测量仪器

动态实验采用直径为100 mm的分离式霍普金森压杆(split Hopkinson pressure bar, SHPB)作为冲击加载装置，其装置如图3所示。SHPB压杆材料为42CrMo，弹性模量Eb=210 GPa，泊松比μb=0.3，密度ρb=7 850 kg/m3，一维纵波的理论波速c0=5 172 m/s。入射杆的长度li=4 500 mm，透射杆的长度lt=2 500 mm。入射杆上应变片与试样接触左端面的距离l1=1 500 mm，透射杆上应变片与试样接触右端面的距离l2=1 000 mm。实验均在0.1 MPa加载气压下进行，产生的压缩应力波由入射杆上应变片和透射杆上应变片测量，信号经超动态应变仪进行记录后，转化为电压信号并由瞬态记录仪进行采集，分别为入射波εi(t)、反射波εr(t)和透射波εt(t)。

为了在动态加载的条件下有效地检测到裂纹扩展的完整过程，采用裂纹扩展计(crack propagation gauge, CPG)检测装置[23-24]，并进行了改进，使其既能完整地对整个断裂带进行检测，又能准确地获得实验数据，如图4所示。同时，在试样的特殊位置设计粘贴应变片(strain gauge, SG)，有利于实验数据和实验现象的分析。CPG具体尺寸及SG粘贴位置见图4。

将CPG粘贴在裂纹前端，为了研究应力波边界反射对裂纹动态断裂过程的影响，在距离加载端面d=5 mm的位置每间隔5 mm粘贴3个应变片SG1、SG2、SG3。在试样另外一面裂纹尖端粘贴2 mm×2 mm的应变片SG4。实验选用CPG共有25根金属丝，并联总电阻R=1.5 Ω。随着裂纹的扩展，金属丝依次发生断裂，CPG的并联总电阻就会增加ΔR，CPG两端电压发生变化，通过监测电压阶跃变化的起跳点即可确定裂纹扩展到该位置的时刻，已知2根金属丝间距，可以计算出2根金属丝间的裂纹扩展速度，从而得到CPG检测范围内裂纹扩展的速度历程。

1.3 动态断裂全过程

图5所示为动态实验中试样在第1次加载波作用下完全断裂时的入射杆上SGi和CPG电压信号U，简称为一次断裂，以CEHFD-2试样为例。SGi记录了加载应力波在入射杆中传播的3个来回，1个来回即为一次应力波加载。

图6所示为动态实验中试样在第2次加载波作用下才完全断裂时的入射杆上SGi和CPG的电压信号，简称为二次断裂。以CEHFD-3试样为例。可知，在CPG的检测范围内，试样在第1次加载波的作用下起裂扩展，CPG金属丝并未完全断裂，表明裂纹在CPG检测范围内的某一个点不再扩展，即止裂。将这一阶段裂纹的起裂、扩展和止裂定义为阶段Ⅰ。随后，当第2次加载波到达试样时，试样再次受到加载波的作用，裂纹再次起裂扩展，剩余未断裂的金属丝全部断裂，超出CPG的检测范围。将这一阶段定义为阶段Ⅱ。阶段Ⅰ的裂纹起裂-扩展-止裂即为完整的动态断裂全过程。

由于实验试样尺寸有限，需要有较长裂纹扩展距离，才有可能检测到裂纹的止裂现象，因而检测止裂的前提条件是有足够的断裂带长度，断裂带太短，其裂纹扩展距离短，导致裂纹尚在扩展阶段，试样已经完全断裂，且接近试样边界区域，应力波和卸载波反射后较为复杂，即使出现止裂，若止裂点太靠近这一区域，复杂应力波也将使止裂难以研究。同时，较长的断裂带增大了裂纹扩展速度的检测范围，有利于研究裂纹扩展阶段的速度变化历程。在距离试样透射端5 mm处等距离贴有3个应变片，即SG1、SG2和SG3，电压信号如图7所示。应变片受到应力波作用，产生应变，检测到应力波最大值均在裂纹止裂以后，可知，裂纹止裂过程，没有受到反射应力波的影响。止裂前的速度变化也没有受到反射应力波的干扰。

1.3.1裂纹起裂和止裂时刻

将加载应力波开始作用于试样时的时刻定义为初始时刻t0,且：

(1)

根据文献[25-26]中的方法确定入射波和反射波的波头，分别为ti和tr。

由于CPG第1根金属丝距离裂纹尖端有一段距离，即金属丝与基底前沿之间的距离l0，第1根丝断裂对应的时刻t1并不是裂纹的起裂时刻，而是裂纹扩展l0距离后第1根金属丝断裂的时刻，如图4所示。文献[23-24]在求起裂时刻时均假设裂纹起裂后以某一速度匀速扩展，通过CPG求出这一平均速度va，起裂时刻tf=t1-l0/va。

图9(a)所示为CEHFD-2试样在阶段Ⅰ的CPG电压信号，即图5中该试样裂纹起裂-扩展过程，CPG的25根金属丝全部断裂，试样一次断裂，未有止裂。图9(b)所示为CEHFD-3试样在阶段Ⅰ的CPG电压信号，即图6中该试样裂纹起裂-扩展-止裂过程，CEHFD-3试样在第18根丝后止裂。经计算得到CEHFD-3试样的t0=846.3 μs，其它时间参量均以这一时刻作为起点计算。以t0作为起点，CEHFD-3试样的起裂时刻tf=(929.1-846.3) μs=82.8 μs，CPG断裂第1根丝断裂时刻为t1=103.6 μs，阶段Ⅰ最后一根丝断裂时刻t18=309.8 μs，这一时刻后裂纹止裂，因此假设这一断裂点为裂纹的止裂点，这一时刻即为止裂时刻ta。

表1 动态实验数据Table 1 Dynamic experimental data

1.3.2裂纹扩展速度

CEHFD-2和CEHFD-3试样阶段Ⅰ裂纹在起裂后快速扩展，其裂纹长度、裂纹扩展速度与时间关系曲线如图11～12所示。这里做了一个假设，假设裂纹在2根CPG两根金属丝间的速度是匀速且是直线扩展，其每2根金属丝间的速度按下式计算：

(2)

式中：Δl为2根金属丝间的间距，Δl=l/24=1.67 mm。这里需要注意的是tf与t1之间裂纹扩展距离为l0=3 mm。

可知，由于一次断裂情况下，裂纹没有止裂过程，其a(t)曲线可近似为直线，如图11(a)所示，其裂纹速度增大到最大值后发生振荡，如图11(b)所示，可近似将裂纹扩展阶段的运动看作匀速，其平均速度为va=527.97 m/s (0.37cR)。二次断裂情况下的裂纹扩展在阶段Ⅰ，经历了裂纹的起裂-扩展-止裂的过程，随着时间的增加a(t)曲线并不是均匀变化，如图12(a)所示，这就意味着不可将裂纹作匀速扩展进行处理。可以明显看到，在裂纹开始起裂后，裂纹加速上升达到最大速度，在裂纹止裂前，速度缓慢下降，直至速度为零，裂纹止裂，如图12(b)所示。CEHFD-3最大速度为vmax=666.67 m/s (0.47cR)，最小速度为vmin=42.19 m/s (0.03cR)。

2 动态应力强度因子

实验-数值-解析法是一种将实验记录、数值模拟和解析公式相结合的研究方法[29]，综合考虑材料惯性效应和裂纹扩展速度对动态应力强度因子的影响，该方法避开了动态应力强度因子难以直接进行测量和计算的问题，将原本对实验设备的苛刻要求分担到动态实验、数值模拟和近似解析3方面，使实验中的重点变为动态荷载历程、裂纹起裂止裂时刻和扩展速度等易于检测的信号的记录测量，而动态应力强度因子等难以直接检测的力学参数则通过有限元等动态数值模拟分析，并结合解析公式得到。

2.1 实验动态荷载

压缩空气炮驱动炮弹撞击SHPB入射杆，入射杆上应变片SGi采集的信号，即入射波εi(t)；弹性压缩波向前传播到达界面后一部分反射回入射杆，再次通过应变片SGi时采集的信号，即反射波εr(t)。另一部分弹性压缩波通过试样，造成试样的高速变形后传播进入透射杆，透射杆上应变片SGt采集的信号，即透射波εt(t)。根据SHPB的一维弹性应力波假设，由入射端的加载波波形可以得到入射端荷载pi(t)，由透射端的加载波波形可以得到透射端荷载pt(t):

(3)

式中:Eb、Ab分别为SHPB弹性模量及横截面面积。如图13所示得到CEHFD-3试样的pi(t)曲线。其左端动载荷pi(t)最大值pmax=37.98 kN，时间tmax=44.7 μs。由于本次实验试样为尺寸较大的圆孔圆盘类试样，应力波传播反射的路径长且次数多，因而传播时间较长；试样带有预制裂纹，岩石动态断裂时会消耗能量，作用于试样两端的载荷存在显著的时间与空间不均匀性，即左端的加载载荷pi(t)与右端的加载载荷pt(t)在时间和数量上差异性较大。本文的研究方法为实验-数值-解析法，不需要满足准静态法研究中的应力均匀性假设，入射波εi(t)和反射波εr(t)是在近乎一维线弹性的SHPB压杆中传播的，在荷载叠加方法合理的情况下，pi(t)更接近试样入射端的真实荷载[30]，将pi(t)作为实验的动态加载荷载p(t)。

2.2 数值-动态有限元模拟

高加载率情况下，快速扩展裂纹尖端附近质点受到裂纹尖端应力集中区影响，因此，对于裂纹尖端的运动，裂纹速度的影响很重要[10]。Freund[10]认为可以将裂纹速度对动态应力强度因子的影响分离出来，对该时刻静止裂尖的动态应力强度因子时间历程进行普适函数的修正:

(4)

CEHFD试样1/2有限元模型如图14所示，采用PLANE82平面应变单元，裂纹尖端应力场和应变场的奇异性采用1/4节点奇异单元，模型共有3 860个单元和11 837个节点，选用时间子步步长为0.1 μs。对试样端面进行位移耦合，使其在加载过程中始终保持一个平面，以模拟实验过程中SHPB压杆对试样端面的平面加载。起裂时裂纹尺寸a(tf)=a0= 8 mm；扩展时裂纹尺寸:

a(tn)=a0+l0+(n-1)Δl

(5)

可令：a(tn)=an，止裂时裂纹尺寸a(ta)=aa。

2.3 解析-普适函数修正

普适函数是由Freund[10]基于Green函数基本解的概念，认为在一般荷载作用下的Ⅰ型裂纹，在不超过瑞雷波速cR时，以任意速度扩展的动态应力强度因子等于适用于具有该处静止裂尖的动态应力强度因子与瞬时裂纹速度的普适函数的乘积。其近似计算公式为:

(6)

式中：cR为材料的瑞雷波速，cd为材料的膨胀波速。

3 结果分析

3.1 动态断裂韧度的确定

不考虑外界温度影响，动态起裂准则为：

(7)

动态扩展韧度与速度有关，是抵抗动态裂纹扩展的材料参数。动态扩展准则为：

(8)

Freund[10]和Ravi-Chandar[33]提出动态止裂韧度定义：不能维持裂纹继续扩展的最大动态应力强度因子即为动态止裂韧度。动态扩展准则为：

(9)

砂岩动态起裂韧度和止裂韧度见表2，可知，动态起裂韧度与加载率有关，随着加载率的增大而增大；动态止裂韧度小于动态起裂韧度，且止裂韧度随着裂纹最大扩展速度的增加而降低，并且有较大的离散性。

表2 砂岩的动态起裂和止裂断裂韧度Table 2 Dynamic initiation and propagation toughness of sandstone

3.2 裂纹止裂过程

假定材料性能值KⅠC或(GⅠC)，即为“盾”；结构提供的裂纹驱动力K(或G)，即为“矛”。裂纹的力学行为决定于矛盾两体的较量，当“盾”作用大于“矛”作用时，显然没有足够的驱动力使裂纹扩展。一般来说，止裂的量度有两种[10]：一种是从结构的角度考虑。“盾”不变，而“矛”随着裂纹尺寸的增大其作用减弱，“矛”小于“盾”时产生止裂。另一种是从材料的角度考虑。“盾”随着裂纹尺寸的增大而增大，当“盾”明显超过“矛”时实现止裂。

实际当中，对某些材料，R通常不是常数且与裂纹速度有关，而快速奔跑裂纹的所有动能都用于裂纹扩展也不太可能。对于许多材料来说，K和R都与裂纹长度和速度有关，止裂时刻的K并不是一个材料常数[33]。实验结果止裂韧度的离散性也证明了这一点。

4 结 论

(1)为了更好地研究岩石材料的I型动态断裂行为，特别是裂纹的快速扩展与止裂过程中裂纹尖端的运动情况，本文提出一种利用岩芯的新型试样CEHFD，成功地检测到裂纹的动态起裂-扩展-止裂这一完整的动态断裂过程。

(2)实验表明，在整个断裂过程中，裂纹并非匀速扩展，裂纹扩展速度在裂纹起裂后加速上升，在裂纹止裂前有明显的减速现象，裂纹并非突然止裂。在试样透射端附近粘贴应变片，检测到应力波最大值均出现裂纹止裂以后，可知，止裂前的减速过程并不是由反射应力波造成的，裂纹止裂过程并没有受到反射应力波的影响。