电磁悬浮实验演示装置的分析与优化

蔡宇麟，应柏青

（西安交通大学电工电子教学实验中心，陕西西安710049）

0 引言

电磁感应是电磁场理论的重要组成部分。进行磁悬浮现象的实验演示，可以直观、生动地演示电磁感应现象，受到学生的普遍欢迎。但是实现磁悬浮效果需要绕制尺寸较大的线圈，并通以很强的电流，这一要求在普通实验室条件下难以达到。为了达到在普通实验室条件下也能容易地实现磁悬浮的目的，本文设计了一种磁悬浮实验装置，目的是用强度尽量低的电流和体积尽量小的线圈容易地产生磁悬浮效果。

1 磁悬浮实验装置的理论分析

文献［1］介绍了一种磁悬浮实验装置。该装置由一个工频交流电的线圈和一块铝板组成，实验装置简图如图1所示。

图1 实验装置简图

线圈的总匝数为N，内径、外径分别为R1、R2，高为H。装置参数列于表1中。将一块铝板放置在线圈上方，通电后，铝板受到向上的电磁力，若能够克服重力，铝板就会向上飞起。下面以此装置为模型，对磁悬浮系统的磁场分布和受力情况进行分析和求解。

表1 实验装置参数表

1．1 单匝线圈的磁感应强度

如图2 所示，设A（r，α，h）为空间一点，B（ρ，φ，z）为线圈中一点。线圈的上表面与xOy平面重合。则由毕奥-萨伐尔定律得单匝线圈在A点产生的磁感应强度为

式中，μ0为真空磁导率，Idl为线圈电流元，R＝｜为 两点距离，为 φ 向单位矢量。

图2 模型示意

根据问题的需要，重点关注磁场的径向分量。由直角坐标与柱坐标的关系有

由对称性可知，Bц的值与α角无关。不妨令α＝0，得到Bц的径向分量为

式中K（k），E（k）分别为第一类、第二类椭圆积分：

式（1）即为单匝线圈产生的径向磁场表达式［2］。

1．2 直接积分法计算线圈磁场

所谓直接积分法，是将连续场源的效应用足够多的离散场源效应的叠加予以等值替代，从而解得待求场量的离散解的一种计算方法。首先对场源进行离散化。取载流线圈的外轮廓线为场源周界，且认为场源截面S内电流分布均匀。将截面离散成nr×n2个小面积。取径向和轴向的计算步长分别为Δr，Δz，则第（i，j）个小面积 ΔSij内的电流为

把此电流ΔIij视作集中在ΔSij中心的电流丝。这样当截面离散为足够数量的小面积时，计算结果就能具有满意的精度。场源离散完成后，根据叠加原理，应用式（1），就可计算出螺线管线圈上方任一场点A（r，h）处在t时刻的磁场强度值为

1．3 电磁悬浮力的求解

如果将铝板看作理想导体平面，且近似认为在铝板覆盖范围内，线圈发出的电磁波全部被垂直反射，则气隙中形成驻波。设铝板半径为r0，场点（r，h）在铝板表面。将1．2节得到的磁场强度表达式记作

则合成驻波的磁场强度为

铝板内部不存在磁场。根据分界面上的衔接条件，铝板表面的面电流为

故得电磁悬浮力为

这一结果表明，铝板所受的电磁力恒大于零，并以角频率 2ω 交变［4～6］。其平均值为

1．4 仿真验证

为验证以上结果，应用Ansys Maxwell 3D软件对涡流场进行仿真，结果如图3、4所示。

图3 铝板上的涡电流分布

图4 铝板涡电流密度随半径变化曲线

铝板所受电磁力F的平均值随高度h变化的曲线如图5所示。

可见，随着铝板上浮高度的增加，电磁力并不是单调减少的，而是先略有增加，再逐步下降。因此只要铝板能够起飞，就可以实现悬浮效果。故以下只对铝板在h＝0处（即铝板下表面和线圈上表面位置重合的情况）的受力情况进行讨论。

图5 电磁力与铝板悬浮高度的关系曲线

2 磁悬浮装置的优化设计

由电磁悬浮力的积分表达式（2）可见，电磁力取决于磁场强度平方的大小及其分布。因此要达到最优设计的目的，一方面应在电流强度一定的条件下尽量提高其产生的磁场大小；另一方面应合理设计线圈参数，使得线圈所产生的磁场能够更加集中地作用在铝板上产生向上的推力。基于以上两方面的考量，笔者提出下列优化措施。

2．1 在线圈中增加铁芯

铁磁材料具有极强的储磁能力，能够显著提高线圈产生的磁场。在线圈中加入长度相同，厚为5 mm的铁芯，仿真测算结果如表2所示。

表2 增加铁芯前后电磁力测算结果（I＝20A）

2．2 计算分析最优化的结构参数

线圈的几何结构对其产生的磁场有显著的影响。以内径参数为例：如果线圈的内径过大，那么磁场强度会过小；而如果线圈的内径过小，磁场又会过于分散。因此应合理选择线圈结构参数，从而更加充分地利用磁场。这里利用Ansys Maxwell 3D软件的Optimetrics功能，将线圈的内径R1、外径R2和高度H设为待优化变量，对作用在铝板上的力F进行建模分析。

（1）线圈高度H的取值。仿真结果如图6所示，电磁力随线圈高度H增加呈现单调增大趋势，这主要是因为线圈的安匝数NI与H成正比。当H＞R2时，由于磁场受到线圈形状的制约，其增速明显放缓。因此，线圈的最佳长度可选为H＝R2。

图6 F-H仿真曲线

（2）线圈外径R2的取值。仿真结果如图7所示，电磁力随R2增大而迅速增加，直至R2约为铝板半径r0的1．15倍时上升停止。亦即此时用于产生悬浮的磁场利用率达到最高。因此可取略大于r0的值作为R2的最佳值。

图7 F-R2仿真曲线

（3）线圈内径R1的取值。将R2一定时，使得F最大的R1值记作R1max。我们试图分析R1max与R2是否存在一定的经验关系，从而为通过R2值确定最优的R1提供依据。由于F与R1，R2的函数关系应该是连续的，故理论上R1max＝φ（R2）也应该是一条连续的曲线。然而Optimetrics分析的结果表明，R1max与R2的关系呈现较大的不规律性。部分结果如图8所示。

出现这种波动现象的原因一方面是Ansys Maxwell软件本身的计算精度所限，另一方面是取点不够细密所致。由于高精度计算所需要的时间过长，使用以下的“次优补偿算法”来计算R1max与R2的经验关系：

（1）选定一个较小的初始区间［R20，R21］，在该区间内R1max与R2有着局部连续且单调的函数关系；

图8 R1max-R2曲线

（3）延拓完成后，用数据拟合方法计算所满足的函数关系，并加以验证。

这一算法的本质是用偏差程度更小的次优值替代最优值，从而有效减小取样值之间的波动。用Matlab实现后，得到R1max与R2的函数曲线近似呈对数函数关系，可记作R1max＝α+βInR2，如图9中粗线所示。

图9 补偿算法处理后的R1max-R2曲线（图中粗线）

式中系数α，β的值依R2的取值不同而不同。实际应用可取R1max＝ （0．4：0．6）R2为最佳的内径取值。

2．3 利用交-直-交变频器提高励磁电流频率

在前面推导式（2）的过程中，将铝板视作理想导体平面，且认为电磁波全部为正入射。这是一种近似的处理。如果考虑实际中铝板与线圈之间的互感M，设R为铝板电阻，则铝板所受电磁力可以表示为［7～8］

可见考虑铝板与线圈之间的互感时，铝板所受电磁力的大小随电流频率的增大而增大。因此，可以采用交-直-交变频器来提高励磁电流的频率，从而增大悬浮力的大小［9～11］。接入交-直-交变频装置升频后，实验结果显示铝板所需悬浮电流明显减小。如表3所示。

表3 提高供电电源频率前后起飞电流测量

3 实验装置改进与实测结果

根据上节的分析结果对现有实验装置进行改进。改进后的实验装置包括一块铝板、一个含铁芯的线圈和一个交-直-交变频器。线圈的参数由上节的优化结果选定，高为100 mm，内径40 mm，外径100 mm，匝数为305。设置变频器输出电压为220 V，100 Hz，进行铝板的磁悬浮实验，测得铝板所需起飞电流将近减小了一半。继续增大电流，可以使悬浮高度进一步增加，实验效果更加明显。可见设计达到了预期的效果。

此外，由表3和表4的结果可以看出，在三种优化途径中，电流频率的提高对磁悬浮的优化效果最为显著。可以进一步提高电流频率来减小所用电流。但过高的电流频率会加剧铝板的振荡，使其发出很大的噪声。

表4 起飞电流测量结果

4 结语

基于在实验室条件下进行磁悬浮演示实验的现实需要，本文首先对磁悬浮实验装置进行了理论分析和计算。在理论结果的基础上，以充分地利用电流产生的磁场为原则，给出了在不显著增大电流强度和线圈体积的条件下，能够产生更佳磁悬浮效果的实验装置设计方案，包括增加铁芯、优化参数设计和采用变频器提高频率等。在完成设计方案的过程中，在仿真分析的基础上应用了数学建模思想和电力电子技术。根据优化分析结果设计的线圈体积没有明显增大，不仅实现了磁悬浮效果，而且所用电流显著降低。这为电磁感应现象的实验演示提供了一种新的解决方案。